El cálculu multivariable (o cálculu en delles variables) nun ye más que la estensión del cálculu infinitesimal a funciones angulares y vectoriales de delles variables. thumb|Campo angular con dos variables
Cálculu diferencial en campos angulares y vectoriales
Funciones de Rn en Rm. Campos angulares y vectoriales
Vamos Formular les definiciones pa campos vectoriales. Tamién van ser válides para campos angulares. Sía : un campu vectorial que fai corresponder a tou puntu P definíu biunívocamente pol so vector posición un vector onde'l puntu O ye'l nuesu orixe de coordenaes. con y . Cuando tenemos un campu angular. Pa tenemos un campu vectorial. Vamos Utilizar la norma euclídea pa topar la magnitú de los vectores.
Llendes y continuidá
Sean y Escribimos:
, :
o bien, :
cuando
pa espresar lo siguiente:
onde ye la norma euclídea de . Espresándolo en función de les componentes de
o, de forma equivalente, :
Derivaes direccionales
Derivada d'un campu angular al respective de un vector
thumb
Derivaes parciales
Si derivamos la espresión anterior al respective de una segunda variable, , vamos tener . Na práutica, vamos calcular derivando al respective de y suponiendo constante.
La diferencial
Definición de campu angular diferenciable
L'anterior ecuación ye la fórmula de Taylor de primer orde pa .
Teorema d'unicidá de la diferencial
Regla de la cadena
Diferencial d'un campu vectorial
Espresando en función de los sos componentes, tenemos
Esta ye la fórmula de Taylor de primer orde pa . La matriz de ye'l so matriz jacobiana.
Diferenciabilidad implica continuidá
Deduzse fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orde yá vista.
Regla de la cadena pa diferenciales de campos vectoriales
Condición abonda pa la igualdá de les derivaes parciales mistes
Aplicaciones del cálculu diferencial
Cálculu de máximos, mínimos y puntos de ensilladura pa campos angulares
thumb|Función con un puntu de ensilladura Pa saber si ye unu de los casos anteriores: Llogramos Llogramos la matriz hessiana de f. Sía esta . ye definida positiva tien un mínimu local (mínimu relativu) en . ye definida negativa tien un máximu local (máximu relativu) en . ye indefinida tien un puntu de ensilladura en .
No enantes espuesto, supunximos que ye continua
Ver tamién
Función diferenciable Campu angular Campu vectorial Gradiente Diverxencia Rotacional Integral de llinia Integral de superficie Integral múltiple Multiplicadores de Lagrange
Referencies
Apostol, Tom M., Calculus, volume 2, editorial reverté, S. A., ISBN 84-291-5003-X
Categoría:Cálculu multivariable