thumb|300px|Un tensor de segundu orde, en tres dimensiones. En matemátiques y en física, un tensor ye cierta clase d'entidá alxebraica de dellos componentes, que xeneraliza los conceutos d'escalar, vector y matriz d'una manera que seya independiente de cualesquier sistema de coordenaes escoyíu. D'equí p'arriba vamos utilizar el conveniu de sumación d'Einstein.
Una vegada escoyida una base vectorial, les componentes d'un tensor nuna base van venir daes por una multimatriz. L'orde d'un tensor va ser el númberu d'índices necesariu pa especificar ensin ambigüedá una componente d'un tensor: un esguilar va ser consideráu como un tensor d'orde 0; un vector, un tensor d'orde 1; y dada una base vectorial, los tensores de segundu orde pueden ser representaos por una matriz.
Historia La pallabra "tensor" utilízase de cutiu como abreviatura de campu tensorial, que ye un valor tensorial definíu en cada puntu nuna variedá. El primeru n'utilizar esta pallabra foi William Rowan Hamilton en 1846, emplegándola para lo qu'anguaño se conoz como módulu y foi Woldemar Voigt en 1899 quien la emplegó na so acepción actual. La pallabra tensor provién del llatín tensus, participiu pasáu de tendere 'espurrir, estender'. El nome estendióse porque la teoría de la elasticidá foi una de les primeres aplicaciones físiques onde s'usaron tensores.
Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 desenvolvió la notación actual col nome de xeometría diferencial absoluta, y popularizóse cola publicación de Cálculu Diferencial Absolutu de Tullio Levi-Civita en 1900. Cola introducción de la teoría de la relatividá xeneral per parte d'Albert Einstein alredor de 1915 atopóse la so aplicación más pragmática. La relatividá xeneral ye netamente tensorial. Einstein aprendiera del mesmu Levi-Civita l'usu de tensores con gran dificultá.
Carauterístiques y usu Les cantidaes xeométrequiers y físiques pueden ser categorizadas considerando los graos de llibertá inherentes a la so descripción. Les cantidaes esguilares son les que pueden representase por un solu númberu, por casu masa y temperatura. Hai tamién cantidaes tipo vector, por casu fuercia, que requiern una llista de númberos pa la so descripción. Finalmente, les cantidaes tales como formes cuadráticas requiern naturalmente una matriz con índices múltiples pa la so representación. Estes últimes cantidaes pueden concebise solamente como tensores.
Realmente, la noción tensorial ye absolutamente xeneral. Esguilar y los vectores son casos particulares de tensores. La propiedá qu'estrema un esguilar d'un vector, y estrema dambos d'una cantidá tensorial más xeneral ye'l númberu d'índices na matriz de la representación. Esti númberu llámase rangu d'un tensor. Asina, esguilar son los tensores de rangu cero (ensin índices), y los vectores son los tensores de rangu unu.
Usu de tensores Non toles rellaciones na naturaleza son lliniales, pero la mayoría ye diferenciable y asina pueden averase llocalmente con sumes de funciones multilineales. Asina la mayoría de les magnitúes en física pueden espresase como tensores.
Un exemplu simple ye la descripción d'una fuercia aplicao al movimientu d'una nave na agua. La fuercia ye un vector, y la nave va responder con una aceleración, que ye tamién un vector. L'aceleración polo xeneral nun va tar na mesma direición que la fuercia, por cuenta de la forma particular del cuerpu de la nave. Sicasí, resulta que la rellación ente la fuercia y l'aceleración ye llinial. Tal rellación ye descrita por un tensor del tipu (1, 1), esto ye, que tresforma un vector n'otru vector. El tensor puede representase como una matriz que cuando ye multiplicada por un vector, dea llugar a otru vector. Según los númberos que representen un vector van camudar si unu camuda'l conxuntu de coordenaes, los númberos na matriz que representa'l tensor tamién van camudar cuando se camude'l conxuntu de coordenaes.
Na inxeniería, les tensiones nel interior d'un sólidu ríxidu o líquidu tamién son descrites por un tensor. Si un elementu superficial particular dientro del material escuéyese, el material nun llau de la superficie va aplicar una fuercia nel otru llau. Polo xeneral, esta fuercia nun va ser ortogonal a la superficie, sinón que va depender de la orientación de la superficie d'una manera llinial. Esto ye descritu por un tensor del tipu (2, 0), o más esautamente per un campu tensorial del tipu (2, 0) yá que les tensiones pueden camudar puntu a puntu.
Dellos exemplos bien conocíos de tensores en xeometría son les formes cuadráticas, y el tensor de combadura. Dellos exemplos de tensores físicos son el tensor d'enerxía-momento, el tensor de polarización y el tensor dieléctricu.
Conceutos básicos Nun sentíu práuticu un tensor ye oxetu matemáticu representáu por un ciertu conxuntu de componentes. Pa definir un tensor ye necesariu partir d'un espaciu físicu o variedá diferenciable que define cuál ye l'espaciu vectorial base V sobre'l que se van construyir tensores de distintu tipu y orde. En mecánica clásica por casu l'espaciu ye , anque na teoría de la relatividá especial l'espaciu base ye isomorfu a y na teoría xeneral de la relatividá ye l'espaciu tanxente a una variedá lorentziana de cuatro dimensiones. En matemátiques lo más avezáu ye construyir la teoría sobre una variedá riemanniana o variedá pseudoriemanniana n-dimensional.
Tratamientu clásicu de los tensores L'enfoque clásicu visualiza los tensores como "matrices" d'orde cimeru que son xeneralizaciones n-dimensionales d'esguilar, vectores de 1 dimensión y matrices de 2 dimensiones. Nesti enfoque los númberos reales qu'apaecen en diches "matrices" son les componentes del tensor nuna base concreta. Magar pa los casos práuticos esta manera de representación puede ser bien intuitivu enzanca la manipulación formal pa otros fines menos práuticos.
Les "componentes" tensoriales son los índices del arreglu. Esta idea puede ser xeneralizada entá más a los campos tensoriales, onde los elementos del tensor son funciones, o inclusive diferenciales. La teoría del campu tensorial puede vese, grosso modo, nesti enfoque, como otra estensión de la idea del jacobiano.
Enfoque modernu L'enfoque modernu visualiza los tensores primero como oxetos astractos, construyíos sobre espacios vectoriales astractos, nos que se define un productu tensorial que dexa construyir estructures típiques del álxebra multilineal. Les sos propiedaes bien conocíes pueden derivase de les sos definiciones, como funciones lliniales o inclusive más xenerales; y les regles pa les manipulaciones de tensores preséntense como estensión del álxebra llinial al álxebra multilineal.
Esti tratamientu sustituyó en gran parte'l tratamientu basáu en componentes pal estudiu avanzáu, a la manera en que'l tratamientu llibre de componentes más modernu de vectores substituye el tratamientu basáu en componentes tradicional anque'l tratamientu basáu en componentes utilizárase p'apurrir una motivación elemental pal conceutu d'un vector. Podría dicise que'l lema ye 'tensores son elementos d'un ciertu espaciu tensorial'.
L'enfoque modernu ta más estrechamente acomuñáu al tratamientu que los matemáticos fixeron del cálculu tensorial nel que les notaciones xeneralmente representen l'oxetu tensorial y secundariamente les componentes. Esto oldea col tratamientu clásicu de los tensores nes ciencies físiques que suel representar los tensores por aciu los sos componentes y enfatiza enforma les propiedaes acomuñaes al tresformamientu de coordenaes al pasar d'un sistema de referencia a otru, o cuando se camuden les coordenaes.
Definición de tensor Hai delles maneres de definir un tensor, que resulten n'enfoques equivalentes: la manera clásica, forma avezada en física de definir los tensores, en términos d'oxetos que los sos componentes tresformar baxu cambeos de coordenaes según ciertes regles, introduciendo la idea de tresformamientos covariantes o contravariantes. la manera avezada de la matemática, qu'implica definir ciertos espacios vectoriales definíos a partir d'un espaciu vectorial dau, ensin afitar cualesquier conxuntos de coordenaes hasta que les bases introducir por necesidá. Esisten dos definiciones d'esti tipu: La de tensores como aplicaciones multilineales, que nos obliga a usar el dual d'un espaciu vectorial. La qu'usa una operación definida axiomáticamente llamada productu tensorial d'espacios vectoriales.
Definición clásica Los físicos especialmente en tratamientos informales de los tensores, consideren qu'un tensor ye a cencielles una magnitú física multi-índiz dada por un conxuntu de númberos reales o "componentes" del tensor que se tresformen de "manera fayadiza". Esto ye, si nun determináu sistema de referencia una magnitú tensorial ta dada por un conxuntu de componentes al camudar a un sistema de referencia distinta va tener componentes con valores numbéricos distintos siendo la rellación ente les componentes de la magnitú nún y otru sistema de referencia la siguiente:
onde na última espresión usóse'l conveniu de sumación d'Einstein y amás: ye la matriz del cambéu de base de coordenaes ye la matriz del cambéu de base inversu, que ye la matriz trespuesta de l'anterior. Les magnitúes esguilares de la física polo xeneral son tensores d'orde cero, y dellos de los tensores físicos importantes (tensor d'inercia, tensor de tensiones, etc.) son tensores de segundu orde.
Como aplicación multilineal Dau un espaciu vectorial de dimensión sobre un cuerpu , recordemos que'l so espaciu dual ye'l conxuntu de toles aplicaciones lliniales . L'espaciu dual ye un espaciu vectorial de la mesma dimensión que . vamos referinos de normal a los elementos de y de como vectores y covectores, respeutivamente.
Un tensor ye una aplicación multilineal, esto ye, una aplicación llinial en cada unu de los sos argumentos, de la forma:
D'esta miente, un tensor acomuña cada covectores y vectores , un esguilar
Llamamos tipu del tensor al par .
Usando productu tensorial d'espacios vectoriales Nel enfoque más matemáticu del cálculu tensorial considérase un espaciu vectorial V y considérase el so espaciu dual V*. Si ye una base del espaciu vectorial V y la correspondiente base dual de V*, constrúyese l'espaciu vectorial productu de r copies de V y s copies de V*, esto ye, o productu tensorial d'espacios vectoriales. Un tensor ye un elementu de dichu espaciu vectorial:
Les propiedaes de tresformamientu de los tensores siguir de les propiedaes de tresformamientu de los vectores de la base de manera trivial.
Exemplos de tensores de distintu orde A los tensores puede clasificar pol so orde, ye dicir el númberu de componentes que requier pa ser descritu. Polo xeneral, si n ye la dimensión del tensor (dimensión del espaciu vectorial sobre'l que se constrúi) y r+s l'orde, un tensor requier de componentes pa ser descritu.
Tensores d'orde cero: esguilares Como se dixo enantes, un esguilar ye una cantidá que requier solo un númberu real en cualquier sistema de coordenaes pa ser descritu. Ye dicir ye invariante ante cualquier cambéu de coordenaes en cualquier sistema. D'esta manera si ye un esguilar nun sistema de coordenaes y ye'l mesmu esguilar n'otru sistema de coordenaes entós Un esguilar ye un tensor d'orde cero porque requier un solu númberu pa ser descritu: .
Tensores d'orde unu: vectores y covectores Polo xeneral, un vector requier n componentes pa ser descritu. Nun espaciu tridimensional, un vector definir por aciu trés componentes. El tresformamientu de coordenaes d'un vector d'un espaciu a otru realízase por aciu una tresformamientu llinial. D'esta manera, un vector ye un tensor d'orde unu porque requier n númberos pa definilo.
Si tenemos un vector espresáu polos sos componentes nun sistema y n'otru sistema, el tresformamientu de coordenaes por que'l vector calténgase invariante puede espresase:
onde ye'l cosenu del ángulu ente l'i-ésimo exa de coordenaes y el k-ésimo.
Tensores d'orde dos: matrices y formes cuadráticas