En estadística y probabilidad llámase distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana o distribución de Laplace-Gauss, a una de les distribuciones de probabilidá de variable continua que con más frecuencia apaez estadística y teoría de probabilidá.
La gráfica de la so función de densidá tien una forma acampanada y ye simétrica respectu d'un determináu parámetru estadísticu. Esta curva conozse como campana de Gauss y ye'l gráficu d'una función gaussiana.
La importancia d'esta distribución anicia en que dexa modelar numberosos fenómenos naturales, sociales y psicolóxicos.Ente que los mecanismos que subyacen a gran parte d'esti tipu de fenómenos son desconocíos, pola enorme cantidá de variables incontrolables que nellos intervienen, l'usu del modelu normal puede xustificase asumiendo que cada observación llógrase como la suma d'unes poques causes independientes.
Ello ye que la estadística descriptiva namái dexa describir un fenómenu, ensin esplicación dalguna. Pa la esplicación causal ye precisu'l diseñu esperimental, d'ende que al usu de la estadística en psicoloxía y socioloxía seya conocíu como métodu correllativu.
La distribución normal tamién ye importante pola so rellación cola estimación por mínimos cuadraos, unu de los métodos d'estimación más simples y antiguos.
Dellos exemplos de variables acomuñaes a fenómenos naturales que siguen el modelu de la normal son:
calteres morfolóxicos d'individuos como la estatura; calteres fisiolóxicos como l'efeutu d'un fármacu; calteres sociolóxicos como'l consumu de ciertu productu por un mesmu grupu d'individuos; calteres psicolóxicos como'l cociente intelectual; nivel de ruíu en telecomunicaciones; errores cometíos al midir ciertes magnitúes; etc.
La distribución normal tamién apaez en munches árees de la mesma estadística. Por casu, la distribución muestral de les medies muestrales ye aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual estrayer la muestra nun ye normal.Ye una consecuencia del Teorema Central de la Llende Amás, la distribución normal maximiza la entropía ente toles distribuciones con media y varianza conocíes, lo cual convertir na eleición natural de la distribución subxacente a una llista de datos resumíos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal ye la más estendida n'estadística y munchos tests estadísticos tán basaos nuna "normalidá" más o menos xustificada de la variable aleatoria so estudiu.
En probabilidá, la distribución normal apaez como la llende de delles distribuciones de probabilidá continues y discretes.
Historia thumb|left|Abraham de Moivre, primero n'afayar la distribución normal La distribución normal foi presentada per primer vegada por Abraham de Moivre nun artículu del añu 1733,Abraham de Moivre, "Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b)n in Seriem expansi" (impresu'l 12 de payares de 1733 en Londres pa una edición privada). Esti panfletu se reimprimió en: (1) Richard C. Archibald (1926) “A rare pamphlet of Moivre and some of his discoveries,” Isis, vol. 8, páxines 671-683; (2) Helen M. Walker, “De Moivre on the law of normal probability” en David Eugene Smith, A Source Book in Mathematics [Nueva York, Nueva York: McGraw-Hill, 1929; reimpresión: Nueva York, Nueva York: Dover, 1959], vol. 2, páxines 566-575.; (3) Abraham De Moivre, The Doctrine of Chances (2ª ed.) [Londres: H. Woodfall, 1738; reimpresión: Londres: Cass, 1967], páxines 235-243; (3ª ed.) [Londres: A Millar, 1756; reimpresión: Nueva York, Nueva York: Chelsea, 1967], páxines 243-254; (4) Florence N. David, Games, Gods and Gambling: A History of Probability and Statistical Ideas [Londres: Griffin, 1962], Apéndiz 5, páxines 254-267. que foi reimpreso na segunda edición de la so The Doctrine of Chances, de 1738, nel contestu de ciertu aproximamientu de la distribución binomial para grandes valores de n. La so resultáu foi ampliáu por Laplace nel so llibru Teoría analítica de les probabilidaes (1812), y na actualidá llámase Teorema de De Moivre-Laplace.
Laplace usó la distribución normal nel analís d'errores d'esperimentos. L'importante métodu de mínimos cuadraos foi introducíu por Legendre en 1805. Gauss, qu'afirmaba usar el métodu dende 1794, xustificar rigorosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nome de Gauss acomuñóse a esta distribución porque la usó con mapa cuando analizaba datos astronómicosHavil, 2003 y dellos autores atribúyen-y un descubrimientu independiente del de De Moivre.Esta atribución del nome de la distribución a una persona distinta del so primer descubridor ye un claru exemplu de la llei de Stigler.
El nome de "campana" vien d'Esprit Jouffret qu'usó'l términu "bell surface" (superficie campana) per primer vegada en 1872 pa una distribución normal bivariante de componentes independientes. El nome de "distribución normal" foi dau independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis escontra 1875. A pesar d'esta terminoloxía, otres distribuciones de probabilidá podríen ser más apropiaes en determinaos contestos; vease'l discutiniu sobre incidencia, más embaxo.
Definición formal La función de distribución de la distribución normal ta definida como sigue:
Poro, la función de distribución de la normal estándar ye:
Esta función de distribución puede espresase en términos d'una función especial llamada función error de la siguiente forma:
.
y la mesma función de distribución puede, poro, espresase asina:
El complementu de la función de distribución de la normal estándar, , se denota con frecuencia , y ye referida, dacuando, como a cencielles función Q, especialmente en testos d'inxeniería.La función Qhttps://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf Esto representa la cola de probabilidá de la distribución gaussiana. Tamién s'usen dacuando otres definiciones de la función Q, que son toes elles tresformamientos simples de .
La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede espresase en términos de la inversa de la función d'error:
.
y la inversa de la función de distribución puede, poro, espresase como:
Esta función cuantil llámase dacuando la función probit. Nun hai una primitiva elemental pa la función probit. Esto nun quier dicir puramente que nun se conoz, sinón que se probó la inesistencia de tal función. Esisten dellos métodos exactos p'averar la función cuantil por aciu la distribución normal (vease función cuantil).
Los valores Φ(x) pueden averase con muncha precisión por distintos métodos, tales como integración numbérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continues.
Llende inferior y superior estrictos pa la función de distribución Pa grandes valores de x la función de distribución de la normal estándar ye bien próxima a 1 y ta mui cerca de 0. Les llendes elementales
.
en términos de la densidá son útiles.
Usando'l camudo de variable v = o²/2, la llende cimera llógrase como sigue:
De forma similar, usando y la regla del cociente,
Resolviendo pa apurre la llende inferior.
Funciones generatrices
Función generatriz de momentos La función generatriz de momentos defínese como la esperanza de y(tX). Pa una distribución normal, la función generatriz de momentos ye:
como puede comprobase al completar el cuadráu nel esponente.
Función carauterística La función carauterística defínese como la esperanza de yitX, onde i ye la unidá imaxinaria. D'esta miente, la función carauterística llógrase reemplazando t por it na función generatriz de momentos. Pa una distribución normal, la función carauterística ye
Propiedaes Delles propiedaes de la distribución normal son les siguientes:
Ye simétrica respectu de la so media, ;|325px|thumb|Distribución de probabilidá alredor de la media nuna distribución N(μ, σ2). La moda y la mediana son dambes iguales a la media, ; Los punto d'inflexón de la curva dar pa y . Distribución de probabilidá nuna redolada de la media: nel intervalu atópase entendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución; nel intervalu atópase, aproximadamente, el 95,44% de la distribución; pela so parte, nel intervalu atópase entendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estes propiedaes son de gran utilidá pal establecimientu d'intervalo d'enfotu. Per otra parte, el fechu de que práuticamente la totalidá de la distribución atopar a tres esviación típiques de la media xustifica les llendes de les tables emplegaes davezu na normal estándar. Si y , entós . Si y son variables aleatories normales independientes, entós: La so suma ta de normal distribuyida con (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatories independientes tienen una suma de normal distribuyida, tienen de ser normales (Teorema de Crámer). La so diferencia ta de normal distribuyida con . Si les varianzas de X y Y son iguales, entós O y V son independientes ente sigo. La diverxencia de Kullback-Leibler, Si y son variables aleatories independientes de normal distribuyíes, entós: El so productu sigue una distribución con densidá dada por onde ye una función de Bessel modificada de segundu tipu. El so cociente sigue una distribución de Cauchy con . D'esta miente la distribución de Cauchy ye un tipu especial de distribución cociente. Si son variables normales estándar independientes, entós sigue una distribución χ² con n graos de llibertá. Si son variables normales estándar independientes, entós la media muestral y la varianza muestral son independientes. Esta propiedá caracteriza a les distribuciones normales y contribúi a esplicar por qué'l test-F nun ye robezu al respective de la non-normalidá).
Estandarización de variables aleatories normales De resultes de la Propiedá 1; ye posible rellacionar toles variables aleatories normales cola distribución normal estándar.
Si , entós
ye una variable aleatoria normal estándar: ~ .
El tresformamientu d'una distribución X ~ N(μ, σ) nuna N(0, 1) llámase normalización, estandarización o tipificación de la variable X.
Una consecuencia importante d'esto ye que la función de distribución d'una distribución normal ye, poro,
A la inversa, si ye una distribución normal estándar, ~ , entós
ye una variable aleatoria normal tipificada de media y varianza .
La distribución normal estándar ta tabulada (davezu na forma del valor de la función de distribución Φ) y les otres distribuciones normales pueden llograse como tresformamientos simples, como se describe más arriba, de la distribución estándar. D'esta miente pueden usase los valores tabulados de la función de distribución normal estándar p'atopar valores de la función de distribución de cualesquier otra distribución normal.
Momentos Los primeros momentos de la distribución normal son: Númberu Momentu Momentu central Cumulante 0 1 1 1 0 2 3 0 0 4 0 5 0 0 6 0 7 0 0 8 0
Tolos cumulantes de la distribución normal, más allá del segundu, son cero.
Los momentos centrales d'orde cimeru (2k con μ = 0) vienen daos pola fórmula
El Teorema de la Llende Central
325px|thumb|Gráfica de la función de distribución d'una normal con μ = 12 y σ = 3, averando la función de distribución d'una binomial con n = 48 y p = 1/4.
El Teorema de la llende central establez que so ciertes condiciones (como pueden ser independientes ya idénticamente distribuyíes con varianza finita), la suma d'un gran númberu de variables aleatories distribúyese aproximadamente como una normal.
La importancia práutica del Teorema de la llende central ye que la función de distribución de la normal puede usase como aproximamientu de delles otres funciones de distribución. Por casu: