En estadística, una prueba t de Student, prueba t-Student, o Test-T ye cualesquier prueba na que l'estadísticu utilizáu tien una distribución t de Student si la hipótesis nula ye cierta. Aplícase cuando la población estudiada sigue una distribución normal pero'l tamañu muestral ye demasiáu pequeñu como por que el estadísticu nel que ta basada la inferencia tea de normal distribuyíu, utilizándose una estimación de la esviación típica en llugar del valor real. Ye utilizáu en analís discriminante.
Historia
L'estadísticu t foi introducíu por William Sealy Gosset en 1908, un químicu que trabayaba pa la cervecería Guinness de Dublín. Student yera'l so seudónimu d'escritor.Richard Mankiewicz, The Story of Mathematics (Princeton University Press), p.158. Gosset fuera contratáu gracies a la política de Claude Guiness de reclutar a los meyores graduaos d'Oxford y Cambridge, y coles mires de aplicar les nueves meyores en bioquímica y estadística al procesu industrial de Guiness. Gosset desenvolvió'l test t como una forma senciella de monitorizar la calidá de la famosa cerveza stout. Publicó'l so test na revista inglesa Biometrika nel añu 1908, pero foi forzáu a utilizar un seudónimu pol so emplegador, pa caltener de callao los procesos industriales que se taben utilizando na producción. Anque ello ye que la identidá de Gosset yera conocida por dellos de los sos compañeros estadísticos.
Usos
Ente los usos más frecuentes de les pruebes t atópense:
El test de locación d'amosanza única pol cual compruébase si la media d'una población distribuyida de normal tien un valor especificáu nuna hipótesis nula.
El test de locación pa dos amosances, pol cual compruébase si les medies de dos poblaciones distribuyíes en forma normal son iguales. Toos estos test son usualmente llamaos test t de Student, a pesar de que puramente falando, tal nome namái tendría de ser utilizáu si les variances de les dos poblaciones estudiaes pueden ser asumíes como iguales; la forma de los ensayos que s'utilicen cuando esta asunción dexar de llau suelen ser llamaos dacuando como Prueba t de Welch. Estes pruebes suelen ser comúnmente nomaes como pruebes t desapareadas o de amosances independientes, por cuenta de que tienen la so aplicación más típica cuando les unidaes estadístiques que definen a dambes amosances que tán siendo comparaes non se superponen.
El test d'hipótesis nula pol cual demuéstrase que la diferencia ente dos respuestes midíes nes mesmes unidaes estadístiques ye cero. Por casu, supóngase que se mide'l tamañu del tumor d'un paciente con cáncer. Si'l tratamientu resulta efeutivu, lo esperable sería que'l tumor de munchos pacientes menguara de tamañu depués de siguir el tratamientu. Esto con frecuencia ye referíu como prueba t de midíes apariaes o repitíes.
El test pa comprobar si la rimada d'una regresión llinial difier estadísticamente de cero.
Estadísticos T y Z La mayor parte de les pruebes estadístiques t tienen la forma , onde Z y s son funciones de los datos estudiaos. Típicamente, Z diseñar de forma tal que resulte sensible a la hipótesis alternativa (p.ej. que la so magnitú tienda a ser mayor cuando la hipótesis alternativa ye verdadera), ente que s ye un parámetru d'escala que dexa que la distribución de T pueda ser determinada.
Por casu, nuna prueba t d'amosanza única, , onde ye la media muestral de los datos, n ye'l tamañu muestral, y σ ye la esviación estándar de la población de datos; s nuna prueba d'amosanza única ye , onde ye la esviación estándar muestral.
Les asunciones subxacentes nuna prueba t son: Que Z sigue una distribución normal so la hipótesis nula. ps2 sigue una distribución χ2 con p graos de llibertá so la hipótesis nula, y onde p ye una constante positiva. Z y s son estadísticamente independientes.
Nuna prueba t específica, estes condiciones son consecuencies de la población que ta siendo estudiada, y de la forma en que los datos fueron muestreados. Por casu, na prueba t de comparanza de medies de dos amosances independientes, tendríamos de realizar les siguientes asunciones:
Caúna de les dos poblaciones que tán siendo comparaes sigue una distribución normal. Esto pue ser demostráu utilizando una prueba de normalidá, tales como una prueba Shapiro-Wilk o Kolmogórov-Smirnov, o puede ser determináu gráficamente per mediu d'un gráficu de cuantiles normales Q-Q plot.
Si ta utilizándose la definición orixinal de Student sobre la so prueba t, les dos poblaciones a ser comparaes tienen de tener les mesmes variances, (esto puédese comprobar utilizando una prueba F d'igualdá de variances, una prueba de Levene, una prueba de Bartlett, o una prueba Brown-Forsythe, o envalorala gráficamente per mediu d'un gráficu Q-Q plot). Si los tamaños muestrales de los dos grupos comparaos son iguales, la prueba orixinal de Student ye altamente resistente a la presencia de variances desiguales. La Prueba de Welch ye insensible a la igualdá de les variances, independientemente de si los tamaños d'amosanza son similares.
Los datos usaos pa llevar a cabu la prueba tienen de ser muestreados independientemente pa caúna de les dos poblaciones que se comparen. Esto polo xeneral nun ye posible determinalo a partir de los datos, pero si conozse que los datos fueron muestreados de manera dependiente (por casu si fueron muestreados por grupos), entós la prueba t clásica qu'equí s'analiza, puede conducir a resultaos errónees.
Pruebes t pa dos amosances apariaes y desapareadas
Les pruebes-t de dos amosances pa probar la diferencia nes medies pueden ser desapareadas o en pareyes. Les pruebes t pareadas son una forma de bloquéu estadísticu, y tienen un mayor poder estadísticu que les pruebes ensin apariar cuando les unidaes apariaes son similares con al respective de los "factores de ruíu" que son independientes de la pertenencia a los dos grupos que se comparen. Nun contestu distintu, les pruebes-t apariaes pueden utilizase p'amenorgar los efeutos de los factores de tracamundiu nun estudiu observacional.
Desapareada
Les pruebes t desapareadas o de muestres independientes, utilícense cuando se llogren dos grupos de muestres aleatories, independientes ya idénticamente distribuyíes a partir de les dos poblaciones a ser comparaes. Por casu, supóngase que tamos evaluando l'efeutu d'un tratamientu médicu, y reclutamos a 100 suxetos pal estudiu. Depués escoyemos aleatoriamente 50 suxetos pal grupu en tratamientu y 50 suxetos pal grupu de control. Nesti casu, llogramos dos amosances independientes y podríamos utilizar la forma desapareada de la prueba t. La eleición aleatoria nun ye esencial nesti casu, si contautamos a 100 persones per teléfonu y llogramos la edá y xéneru de caúna, y depués utilízase una prueba t bimuestral pa ver en que forma la media d'edaes difier por xéneru, esto tamién sería una prueba t de muestres independientes, a pesar de que los datos son observacionales.
Apariada
Les pruebes t de muestres dependientes o apariaes, consisten típicamente nuna amosanza de pares de valores con similares unidaes estadístiques, o un grupu d'unidaes que fueron evaluaes en dos causes distintos (una prueba t de midíes repetitives). Un exemplu típicu de prueba t pa midíes repetitives sería por casu que los suxetos sían evaluaos antes y dempués d'un tratamientu.
Una prueba 't basada na coincidencia de pares muestrales llograr d'una amosanza desapareada que depués ye utilizada pa formar una amosanza apariada, utilizando pa ello variables adicionales que fueron midíes conxuntamente cola variable d'interés.
La valoración de la coincidencia llevar a cabu por aciu la identificación de pares de valores que consisten nuna observación de caúna de les dos amosances, onde les observaciones del par son similares en términos d'otres variables midíes. Esti enfoque utilízase de cutiu nos estudios observacionales p'amenorgar o esaniciar los efeutos de los factores de tracamundiu.
Cálculos
Les espresiones esplícites que pueden ser utilizaes pa llograr delles pruebes t danse de siguío. En cada casu, amuésase la fórmula pa una prueba estadística qu'o bien siga esautamente o avere a una distribución t de Student so la hipótesis nula. Amás, danse los apropiaos graos de llibertá en cada casu. Caúna d'estes estadístiques pueden utilizase pa llevar a cabu yá sía un prueba d'una cola o prueba de dos coles.
Una vegada que se determinó un valor t, ye posible atopar un valor p acomuñáu utilizando pa ello una tabla de valores de distribución t de Student. Si'l valor p calulado ye menor a la llende escoyida por significancia estadística (usualmente a niveles de significancia 0,10; 0,05 o 0,01), entós la hipótesis nula refugar en favor de la hipótesis alternativa.
Prueba t p'amosanza única
Nesta prueba evalúase la hipótesis nula de que la media de la población estudiada ye igual a un valor especificáu μ0, faise usu del estadísticu:
onde ye la media muestral, s ye la esviación estándar muestral y n ye'l tamañu de l'amosanza. Los graos de llibertá utilizaos nesta prueba corresponder al valor n − 1.
Rimada d'una regresión llinial
Supóngase que se ta afaciendo'l modelu:
onde xi, i = 1, ..., n son conocíos, α y β son desconocíos, y εi ye l'error aleatoriu nos residuales que s'atopa de normal distribuyíu, con un valor esperáu 0 y una varianza desconocida σ2, y Yi, i = 1, ..., n son les observaciones.
Deseyar probar la hipótesis nula de que la rimada β ye igual a dalgún valor especificáu β0 (de cutiu toma'l valor 0, y nesi casu la hipótesis ye que x y y nun tán rellacionaos).
sía
Depués
tien una distribución t con n − 2 graos de libertad si la hipótesis nula ye verdadera. L'error estándar de la rimada:
puede ser reescritu en términos de los residuales:
Depués atópase dau por:
Prueba t pa dos amosances independientes
Iguales tamaños muestrales, iguales variances
Esta prueba utilízase solamente cuando:
los dos tamaños muestrales (esto ye, el númberu, n, de participantes en cada grupu) son iguales; puede asumise que los dos distribuciones tienen la mesma varianza.
Les violaciones a estos presupuestos alderíquense más embaxo.
L'estadísticu t a probar si les medies son distintes puede calculase como sigue:
Onde
,
ye la esviación estándar combinada, 1 = grupu unu, 2 = grupu 2. El denominador de t ye l'error estándar de la diferencia ente los dos medies.
Por prueba de significancia, los graos de llibertá d'esta prueba llógrense como 2n − 2 onde n ye'l númberu de participantes en cada grupu.
Distintos tamaños muestrales, iguales variances
Esta prueba puede utilizase namái si puede asumise que los dos distribuciones tienen la mesma varianza. (Cuando esti presupuestu viólase, mirar más embaxo). L'estadísticu t si les medies son distintes pue ser calculáu como sigue:
Onde
Nótese que les fórmules de riba, son xeneralizaciones del casu que se da cuando dambes amosances tienen igual tamañu (sustituyendo n por n1 y n2).
ye un estimador de la esviación estándar común de dambes amosances: esto defínese asina por que'l so cuadráu sía un estimador ensin sesgu de la varianza común sía o non la media iguales. Nesta fórmula, n = númberu de participantes, 1 = grupu unu, 2 = grupo dos. n − 1 ye'l númberu de graos de llibertá pa cada grupu, y el tamañu muestral total menos dos (esto ye, n1 + n2 − 2) ye'l númberu de graos de llibertá utilizaos pa la prueba de significancia.
Distintos tamaños muestrales, distintes variances Esta prueba ye tamién conocida como prueba t de Welch y ye utilizada namái cuando puede asumise que les dos variances poblacionales son distintes (los tamaños muestrales pueden o nun ser iguales) y polo tanto tienen de ser envaloraes por separáu. L'estadísticu t a probar cuando les medies poblacionales son distintes pue ser calculáu como sigue:
onde