thumb|270px|Fig. 1. Nesti tresformamientu de la Mona Lisa, la imaxe haise deformado de tala forma que la so exa vertical nun camudó. (nota: retayáronse les esquines na imaxe de la derecha). El vector azul, representáu pola flecha azul que va dende'l pechu hasta'l costazu, camudó de direición, ente que'l colloráu, representáu pola flecha colorada, nun camudó. El vector coloráu ye entós un vector propiu del tresformamientu, ente que l'azul nun lo ye. Yá que el vector coloráu nun camudó de llargor, el so valor propiu ye 1. Tolos vectores d'esta mesma direición son vectores propios, col mesmu valor propiu. Formen un subespacio del espaciu propiu d'esti valor propiu.

En álxebra llinial, los vectores propios o autovectores d'un operador llinial son los vectores non nulos que, cuando son tresformaos pol operador, dan llugar a un múltiplu angular de sigo mesmos, colo que nun camuden la so direición. Esti angular recibe'l nome valor propiu, autovalor o valor carauterísticu. De cutiu, un tresformamientu quedu dafechu determinada polos sos vectores propios y valores propios. Un espaciu propiu, autoespacio o subespacio fundamental acomuñáu al valor propiu ye'l conxuntu de vectores propios con un valor propiu común.

La pallabra alemana eigen (/'aj γen /), que se traduz n'español como mesmu, usar per primer vegada nesti contestu por David Hilbert en 1904 (anque Helmholtz usar primero con un significáu asemeyáu). Eigen traducióse tamién como inherente, carauterísticu o'l prefixu autu-, onde s'aprecia l'énfasis na importancia de los valores propios pa definir la naturaleza única d'un determináu tresformamientu llinial. Les denominaciones vector y valor carauterísticos tamién s'utilicen davezu. L'usu del prefixu autu- ye un casu propiu y singular que se da solamente n'español, portugués ya italianu. N'otres llingües con más tradición en Matemátiques (alemán, holandés, inglés, francés, rusu, etc.) naide paez traducir eigen- (propiu, perteneciente a, etc.) por autu- (que nada tien que ver cola etimoloxía o'l significáu del prefixu eigen).

Introducción Les tresformamientos lliniales del espaciu —como la rotación, la reflexón, l'enanche, o cualquier combinación de les anteriores; nesta llista podríen incluyise otros tresformamientos— pueden interpretase por aciu l'efeutu que producen nos vectores. Los vectores pueden visualizase como fleches d'una cierta llargor apuntando nuna direición y Sentíu de circulación sentíu determinaos.

Los vectores propios de los tresformamientos lliniales son vectores que, o nun son afeutaos pol tresformamientu o namái resulten multiplicaos por un angular; y, por tanto, nun varien la so direición.Yá que nengún tresformamientu llinial tien efeutu sobre'l vector nulu, ésti nun se considera un vector propiu. El valor propiu d'un vector propiu ye'l factor d'escala pol que foi multiplicáu. Un espaciu propiu ye un espaciu formáu por tolos vectores propios del mesmu valor propiu, amás del vector nulu, que nun ye un vector propiu. La multiplicidá xeométrica d'un valor propiu ye la dimensión del espaciu propiu asociáu. El espectru d'un tresformamientu n'espacios vectoriales finitos ye'l conxuntu de tolos sos valores propios.

Por casu, un vector propiu d'una rotación en tres dimensiones ye un vector asitiáu nel eje de rotación sobre'l cual realízase la rotación. El valor propiu correspondiente ye 1 y el espaciu propiu ye la exa de xiru. Como ye un espaciu d'una dimensión, la so multiplicidá xeométrica ye unu. Ye l'únicu valor propiu del espectru (d'esta rotación) que ye un númberu real.

Definición Formalmente, defínense los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Sía A: V → V un operador llinial nun ciertu -espaciu vectorial V y v un vector non nulu en V. Si esiste un angular c tal que entós dicimos que v ye un vector propiu del operador A, y el so valor propiu asociáu ye c. Repare que si v ye un vector propiu col valor propiu c entós cualquier múltiplu distintu de cero de v ye tamién un vector propiu col valor propiu c. Ello ye que tolos vectores propios col valor propiu asociáu c xunto con 0, formen un subespacio de V, el espaciu propiu pal valor propiu c. Repare amás qu'un espaciu propiu Z ye un subespacio invariante de A, ye dicir dau w un vector en Z, el vector Aw tamién pertenez a Z.

Exemplos A midida que la Tierra rota, los vectores na exa de rotación permanecen invariantes. Si considérase la tresformamientu llinial que sufre la Tierra tres una hora de rotación, una flecha que partiera del centru de la Tierra al polu Sur xeográficu sería un vector propiu d'esti tresformamientu, pero una flecha que partiera del centru a un puntu del ecuador nun sería un vector propiu. Yá que la flecha qu'apunta al polu nun camuda de llargor pola rotación, el so valor propiu ye 1.

Otru exemplu sería una llámina de metal que s'espandiera uniformemente a partir d'un puntu de tal manera que les distancies dende cualesquier puntu al puntu fixu doblárense. Esta espansión ye un tresformamientu con valor propiu 2. Cada vector dende'l puntu fixu a cualesquier otru ye un vector propiu, y l'espaciu propiu ye'l conxuntu de toos esos vectores.

thumb|270px|Una onda estacionaria nuna cuerda fixa nos sos cabos o, más concretamente, una función propia del tresformamientu correspondiente al intre del tiempu. A midida que varia'l tiempu, la onda estacionaria varia n'amplitú, pero'l so periodu nun se modificar. Nesti casu'l valor propiu ye dependiente del tiempu.

Sicasí, l'espaciu xeométricu tridimensional nun ye l'únicu espaciu vectorial. Por casu, considérese una cuerda suxeta pelos sos estremos, como la d'un instrumentu de cuerda (amosada a la derecha). La distancia de los átomos de la cuerda vibrante dende les sos posiciones cuando ésta ta en reposu pueden interpretase como componentes d'un vector nel espaciu con tantes dimensiones como átomos tenga dicha cuerda.

Si supónse que la cuerda ye un mediu continuu y considérase el tresformamientu de la cuerda nel intre del tiempu, los sos vectores propios o funciones mesmes son los sos ondes estacionaries—lo que, por aciu la intervención del aire circundante, puede interpretase como el resultáu de tañer una guitarra. Les ondes estacionaries correspuenden a oscilaciones particulares de la cuerda tales que la forma de la cuerda angular por un factor (el valor propiu) col pasu del tiempu. Cada componente del vector acomuñáu cola cuerda multiplicar por esti factor dependiente del tiempu. Les amplitúes (valores propios) de les ondes estacionaries escayen col tiempu si considérase la atenuación. Nesti casu puede acomuñar un tiempu de vida al vector propiu, y rellacionar el conceutu de vector propiu col conceutu de resonancia.

Casos d'interés especial Intuitivamente, pa les tresformamientos lliniales del espaciu de dos dimensiones , los vectores propios son:

rotación: nengún vector propiu de valores reales (esisten sicasí pares valor propiu, vector propiu complexos).

reflexón: los vectores propios son perpendiculares y paralelos a la exa de simetría, los valores propios son -1 y 1, respeutivamente.

esguiláu uniforme: tolos vectores son vectores propios, y el valor propiu ye'l factor d'escala.

proyeición sobre una recta: los vectores propios col valor propiu 1 son paralelos a la llinia, vectores propios col valor propiu 0 son perpendiculares a la direición de la proyeición

Ecuación del valor propiu Matemáticamente, vλ ye un vector propiu y λ el valor mesmu correspondiente d'un tresformamientu T si verifica la ecuación:

onde T(vλ) ye'l vector llográu al aplicar el tresformamientu T a vλ.

Supóngase que T ye una tresformamientu llinial (lo que significa que pa tolos angulares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base nesi espaciu vectorial. Entós, T y vλ pueden representase en rellación a esa base por aciu una matriz AT y un vector columna vλ—un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propiu nesta representación matricial representar de la siguiente forma:

onde la yuxtaposición ye un productu de matrices. Yá que nesta circunstancia'l tresformamientu T y la so representación matricial AT son equivalentes, de cutiu podemos emplegar namái T pa la representación matricial y el tresformamientu. Esto ye equivalente a un conxuntu de n combinaciones lliniales, onde n ye'l númberu de vectores de la base. Nesta ecuación, tanto'l valor propiu λ y les n componentes de vλ son desconocíos. Sicasí, dacuando ye pocu natural o inclusive imposible escribir la ecuación de valor propiu en forma matricial. Esto asocede, por casu, cuando l'espaciu vectorial ye de dimensión infinita, como por casu nel casu de la cuerda amosada enantes. Dependiendo de la naturaleza del tresformamientu T y l'espaciu al que s'aplica, pue ser ventaxosu representar la ecuación de valor propiu como un conxuntu d'ecuaciones diferenciales, onde los vectores propios reciben de cutiu el nome de autofunciones del operador diferencial que representa a T. Por casu, la derivación mesma ye un tresformamientu llinial, yá que (si f(t) y g(t) son funciones derivables y a y b son constantes)

Considérese la diferenciación con al respective de . Los sos autofunciones h(t) obedecen a la ecuación de valor propiu: , onde λ ye'l autovalor acomuñáu cola función. Una función nel tiempu ye constante si , crez proporcionalmente a sigo mesmu si ye positiva, y escai proporcionalmente a sigo mesmu si ye negativa. Por casu, una población ideal de coneyos nicia con más frecuencia a midida que hai más coneyos, y por tanto satisfai la ecuación pa lambda positivu.

La solución a la ecuación de valor propiu ye , la función esponencial; pos esa función ye una función propia del operador diferencial d/dt col valor propiu λ. Si λ ye negativa, la evolución de g denominar escayencia esponencial; si ye positiva denominar crecedera esponencial. El valor de λ puede ser cualesquier númberu complexu. L'espectru de d/dt ye entós el planu complexu na so totalidá. Nesti exemplu l'espaciu vectorial nel qu'actúa d/dt ye l'espaciu de les funciones derivables d'una variable. Esti espaciu tien una dimensión infinita (pos nun ye posible espresar cada función diferenciable como combinación llinial d'un númberu finito de funciones base). Sicasí, l'espaciu propiu asociáu a un valor propiu determináu λ ye unidimensional. Ye'l conxuntu de toles funciones , onde A ye una constante arbitraria, la población inicial en t=0.

Teorema espectral

El teorema espectral amuesa la importancia de los valores propios y vectores propios pa carauterizar un tresformamientu llinial de forma única. Na so versión más simple, el teorema espectral establez que, so unes condiciones determinaes, un tresformamientu llinial puede espresase como la combinación llinial de los vectores propios con coeficientes de valor igual a los valores propios pol productu angular de los vectores propios pol vector al que s'aplica'l tresformamientu, lo que puede escribise como:

onde y representen a los vectores propios y valores propios de . El casu más simple nel que tien validez el teorema ye cuando'l tresformamientu llinial vien dada por una matriz simétrica real o una matriz hermítica complexa.

Si define la enésima potencia d'un tresformamientu como el resultáu d'aplicala n vegaes socesives, puede definise tamién el polinomiu de los tresformamientos. Una versión más xeneral del teorema ye que cualquier polinomiu P de ye igual a:

El teorema puede estendese a otres funciones o tresformamientos tales como funciones analítiques, siendo'l casu más xeneral les funciones de Borel.

Vectores propios y valores propios de matrices

Cálculu de valores propios y vectores propios de matrices Si quier calculase los valores propios d'una matriz dada y ésta ye pequeña, puede calculase simbólicamente usando'l polinomiu carauterísticu. Sicasí, de cutiu resulta imposible pa matrices estenses, casu nel que se debe usar un métodu numbéricu.

Cálculu simbólicu Cálculu de los valores propios