Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання. Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.
Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый, а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.
Вытворныя найпрасцейшых функцый
Вытворныя ступенных функцый і мнагачленаў
Ступеневае правіла: няхай , тады для любога рэчаіснага паказніка праўдзіцца роўнасць
Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае правіла сталай: калі функцыя ёсць сталаю функцыяй (г. зн. для любых значэнне функцыі аднолькавае і роўнае , дзе некаторы нязменны лік), то яе вытворная ёсць тоесным нулём:
Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся ступеневым правілам і правілам сталай можна знайсці вытворную любога мнагасклада:
Вытворная модуля
Вытворныя паказнікавых і лагарыфмічных функцый
Вытворная паказнікавай функцыі:
Вытворная паказнікавай функцыі з асновай :
Вытворная натуральнага лагарыфма:
Вытворная лагарыфма з асноваю :
Табліца вытворных Вытворныя трыганаметрычных функцый
Вытворныя гіпербалічных функцый
Правілы дыферэнцавання
Вытворная сумы і рознасці (лінейнасць дыферэнцавання)
Для любых дыферэнцавальных функцый і і любых сталых і вытворная функцыі па зменнай раўняецца
У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:
Адмысловыя выпадкі: Вытворная здабытку функцыі і сталай велічыні:
Вытворная суммы:
Вытворная рознасці:
Вытворная здабытку (правіла Ляйбніца)
Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый і можна вылічыць па формуле
У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:
Вытворная дзелі
Вытворная функцыі для любой (ненулявой) дыферэнцавальнай функцыі раўняецца
Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:
Вытворная дзелі дзвюх функцый. Калі і ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго , тады:
Вытворная складанай функцыі (ланцуговае правіла)
Вытворная складанай функцыі па зменнай раўняецца
У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:
Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы як функцыю ад фармальнага аргумента :
Вытворная адваротнай функцыі
Калі дыферэнцавальная функцыя мае адваротную функцыю (г.зн. праўдзяцца тоеснасці і ), тады
У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд
Заўвага: нельга блытаць паняцці функцыйна адваротнай функцыі і лікава адваротнай функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі.
Вытворная складана-ступеневай функцыі
Няхай і ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго , тады
Адмысловыя выпадкі: Калі , атрымліваем для любых рэчаісных паказнікаў і любога дадатнага значэння зменнай . Калі , формула для вытворнай складана-ступеневай функцыі ператвараецца ў формулу для вытворнай лікава адваротнай функцыі.
Гл. таксама Вытворная функцыі
Літаратура
Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае злічэнне