Навочны геаметрычны доказ тэарэмы.|alt=Навочны геаметрычны доказ тэарэмы|міні Тэарэма Піфагора — адна з асноўных тэарэм еўклідавай геаметрыі, якая вызначае сувязь паміж старанамі прамавугольнага трохвугольніка. Гэта тэарэма сцвярджае, што плошча квадрата, чый бок з’яўляецца гіпатэнузай (старана трохвугольніка, якая ляжыць насупраць прамога вугла) роўны суме плошчаў двух квадратаў, што ляжаць на астатніх старанах трохвугольніка. Гэта тэарэма можа быць запісана ўраўненнем паміж даўжынямі катэтаў a, b і гіпатэнузай c:
Гісторыя
У старажытнакітайскай кнізе Чжоу бі суань цзын () гаворыцца пра піфагораў трохвугольнік з бакамі 3, 4 і 5. У гэтай жа кнізе прапанаваны рысунак, які супадае з адным з рысункаў індыйскай геаметрыі Басхары.
Морыц Кантар (найбуйнейшы нямецкі гісторык матэматыкі) лічыць, што роўнасць 3² + 4² = 5² была вядомая егіпцянам яшчэ каля 2300 года да н. э., у часы цара Аменемхета I (згодна з папірусам 6619 Берлінскага музея). На думку Кантара, гарпеданапты, або «нацягвачы вяровак», будавалі прамыя вуглы пры дапамозе прамавугольных трохвугольнікаў з бакамі 3, 4 і 5.
Вельмі лёгка можна паўтарыць іх спосаб будавання. Возьмем вяроўку даўжынёю ў 12 метраў і прывяжам да яе каляровыя палоскі на адлегласці 3 метры ад аднаго канца і 4 метры ад іншага. Прамы вугал апынецца паміж бакамі даўжынёй у 3 і 4 метры. Гарпеданаптам можна было б запярэчыць, што іх спосаб будавання становіцца залішнім, калі скарыстацца, напрыклад, драўляным вугольнікам, якім карыстаюцца ўсе цеслі. І сапраўды, вядомыя егіпецкія малюнкі, на якіх сустракаецца такі інструмент, — напрыклад, малюнкі, якія паказваюць сталярную майстэрню.
Крыху больш вядома пры тэарэму Піфагора ў вавіланян. У адным тэксце, які адносіцца да часоў Хамурапі, гэта значыць да 2000 года да н. э., прыводзіцца набліжанае вылічэнне гіпатэнузы роўнабаковага прамавугольнага трохвугольнікаHistory topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics . Адсюль можна зрабіць выснову, што ў Месапатаміі ўмелі рабіць вылічэнні з прамавугольнымі трохвугольнікамі, па меншай меры ў некаторых выпадках.
Грунтуючыся, з аднаго боку, на сённяшнім узроўні ведаў аб егіпецкай і вавілонскай матэматыцы, а з другога — на крытычным вывучэнні грэчаскіх крыніц, Ван-дэр-Вард (галандскі матэматык) зрабіў выснову аб вялікай імавернасці таго, што тэарэма аб квадраце гіпатэнузы была вядомая ў Вавілоне ўжо каля XVIII стагоддзя да н. э.
Згодна з каментаром Прокла да Эўкліда, Піфагор (гадамі жыцця якога прынята лічыць 570—490 гг. да н. э.) карыстаўся алгебраічнымі метадамі, каб знаходзіць піфагоравыя тройкі. Аднак Прокл пісаў паміж 410 і 485 гг. н. э. Томас Літл Хіт лічыў, што не існуе відавочных згадак, якія адносіцца да перыяду працягласцю ў пяць стагоддзяў пасля смерці Піфагора, што Піфагор быў аўтарам тэарэмы С. 351. Аднак, калі аўтары, такія як Плутарх і Цыцэрон, пішуць пра тэарэму Піфагора, яны пішуць так, нібы аўтарства Піфагора было шырока вядомым і бясспрэчнымОбсуждение исторических фактов приведено в С. 351. «Ці належыць гэтая формула асабіста пяру Піфагора…, але мы можам упэўнена лічыць, што яна належыць найстаражытнейшаму перыяду піфагоравай матэматыкі». Паводле падання, Піфагор адсвяткаваў адкрыццё сваёй тэарэмы гіганцкім балем, для якога закалолі з радасці сотню быкоўЛьюис Кэррол, «История с узелками», М., Мир, 1985, с. 7.
Прыблізна ў 400 г. да н. э., паводле Прокла, Платон адшукаў метад знаходжання піфагоравых троек, які спалучае алгебру і геаметрыю. Прыблізна ў 300 г. да н. э. у «Пачатках» Еўкліда з’явіўся найстарэйшы аксіяматычны доказ тэарэмы Піфагора.
Фармулёўкі
Геаметрычная фармулёўка:
Першапачаткова тэарэма была сфармуляваная наступным чынам:
У прамавугольным трохвугольніку плошча квадрата, пабудаванага на гіпатэнузе, роўная суме плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэтах.
Алгебраічная фармулёўка:
У прамавугольным трохвугольніку квадрат даўжыні гіпатэнузы роўны суме квадратаў даўжынь катэтаў.
Гэта значыць, пазначыўшы даўжыню гіпатэнузы трохвугольніка праз , а даўжыні катэтаў праз і :
Абедзве фармулёўкі тэарэмы эквівалентныя, але другая фармулёўка больш элементарная, яна не патрабуе паняцця плошчы. Гэта значыць другое сцверджанне можна праверыць, нічога не ведаючы пра плошчы і памераўшы толькі даўжыні бакоў прамавугольнага трохвугольніка.
Адваротная тэарэма Піфагора:
Для ўсякай тройкі дадатных лікаў , і , такой, што , існуе прамавугольны трохвугольнік з катэтамі і , і гіпатэнузай .
Доказы На сённяшні дзень у навуковай літаратуры зафіксавана 367 доказаў тэарэмыPythagorean Proposition, by Elisha Scott Loomis. Імаверна, тэарэма Піфагора ёсць адзінай тэарэмай з настолькі вялікай колькасцю доказаў. Такую разнастайнасць можна патлумачыць толькі фундаментальным значэннем тэарэмы для геаметрыі.
Канцэптуальна іх можна разбіць на невялікую колькасць класаў. Самыя вядомыя з іх: доказы метадам плошчаў, аксіяматычныя і экзатычныя доказы (напрыклад, з дапамогай дыферэнцыяльных ураўненняў).
Праз падобныя трохвугольнікі Гэты доказ алгебраічнай фармулёўкі — найпрасцейшы з доказаў, якія будуюцца наўпрост з аксіём. У прыватнасці, ён не выкарыстоўвае паняцце плошчы фігуры.
Няхай ABC ёсць прамавугольны трохвугольнік з прамым вуглом C. Правядзём вышыню з C і абазначым яе аснову праз H. Трохвугольнік ACH падобны да трохвугольніку ABC па двух вуглах. Аналагічна, трохвугольнік CBH падобны да ABC. Увёўшы абазначэнні
атрымаем
Што эквівалентна
Дадаўшы, атрымаем
або , што і патрабавалася даказаць.
Доказы метадам плошчаў
Ніжэй прыведзеныя доказы, нягледзячы на іх уяўную прастату, зусім не такія простыя. Усе яны выкарыстоўваюць уласцівасці плошчы, доказы якіх складаней за доказы самой тэарэмы Піфагора.
Доказ праз роўнадапаўняльнасць
Размесцім чатыры роўныя прамавугольныя трохвугольнікі так, як паказана на рысунку 1. Чатырохвугольнік з бакамі c з’яўляецца квадратам, бо сума двух вострых вуглоў роўная 90°, а разгорнуты вугал — 180°. Плошча ўсёй фігуры роўная, з аднаго боку, плошчы квадрата з бокам (a+b), а з другога боку, суме плошчаў чатырох трохвугольнікаў і плошчы ўнутранага квадрата.
Што і патрабавалася даказаць.
Доказ Еўкліда
Ідэя доказу Еўкліда складаецца ў наступным: паспрабуем даказаць, што палова плошчы квадрата, пабудаванага на гіпатэнузе, роўная суме палоў плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэтах, а тады і плошчы вялікага і двух малых квадратаў роўныя.
Разгледзім рысунак злева. На ім мы пабудавалі квадраты на баках прамавугольнага трохвугольніка і правялі з вяршыні прамога вугла С прамень s перпендыкулярна гіпатэнузе AB, ён рассякае квадрат ABIK, пабудаваны на гіпатэнузе, на два прамавугольнікі — BHJI і HAKJ адпаведна. Аказваецца, што плошчы гэтых прамавугольнікаў роўныя плошчам квадратаў, пабудаваных на адпаведных катэтах.
Паспрабуем даказаць, што плошча квадрата DECA роўная плошчы прамавугольніка AHJK. Для гэтага скарыстаемся дапаможным назіраннем: плошча трохвугольніка з той жа вышынёй і асновай, што і гэты трохвугольнік, роўная палове плошчы зададзенага прамавугольніка. Гэта вынік вызначэння плошчы трохвугольніка як паловы здабытку асновы на вышыню. З гэтага назірання выцякае, што плошча трохвугольніка ACK роўная плошчы трохвугольніка AHK (не накрэсленага на рысунку), якая, у сваю чаргу, роўная палове плошчы прамавугольніка AHJK.
Дакажам цяпер, што плошча трохвугольніка ACK таксама роўная палове плошчы квадрата DECA. Адзінае, што неабходна для гэтага зрабіць, — гэта даказаць роўнасць трохвугольнікаў ACK і BDA (бо плошча трохвугольніка BDA роўная палове плошчы квадрата па паказанай вышэй ўласцівасці). Роўнасць гэта відавочная: трохвугольнікі роўныя па двух баках і вугле паміж імі. Менавіта — AB = AK, AD = AC — роўнасць вуглоў CAK і BAD лёгка даказаць метадам руху: павернем трохвугольнік CAK на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, тады відавочна, што адпаведныя бакі двух разглядаемых трохвугольнікаў супадуць (з прычыны таго, што вугал пры вяршыні квадрата 90°).
Разважанне наконт роўнасці плошчаў квадрата BCFG і прамавугольніка BHJI аналагічнае.
Такім чынам мы даказалі, што плошча квадрата, пабудаванага на гіпатэнузе, складаецца з плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэтах. Ідэя доказу дадаткова праілюстравана з дапамогай анімацыі, размешчанай вышэй.
Гэты доказ таксама атрымаў назву «піфагоравы штаны».
Доказ Леанарда да Вінчы
Галоўныя элементы доказу — сіметрыя і рух.
Разгледзім рысунак. Як відаць з сіметрыі, адрэзак CI рассякае квадрат ABHJ на дзве аднолькавыя часткі (бо трохвугольнікі ABC і JHI роўныя пабудовай).
Карыстаючыся паваротам на 90 градусаў супраць гадзіннікавай стрэлкі вакол пункту A, мы ўгледжваем роўнасць заштрыхаваных фігур CAJI і DABG.
Цяпер ясна, што плошча заштрыхаванай намі фігуры роўная суме палоў плошчаў маленькіх квадратаў (пабудаваных на катэтах) і плошчы зыходнага трохвугольніка. З іншага боку, яна роўная суме паловы плошчы вялікага квадрата (пабудаванага на гіпатэнузе) і плошчы зыходнага трохвугольніка. Такім чынам, палова сумы плошчаў маленькіх квадратаў роўная палове плошчы вялікага квадрата, а значыць сума плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэтах роўная плошчы квадрата, пабудаванага на гіпатэнузе.
Доказ метадам бясконца малых
Наступны доказ пры дапамозе дыферэнцыяльных ураўненняў часта прыпісваюць вядомаму англійскаму матэматыку Хардзі, які жыў у першай палове XX стагоддзя.
Разглядаючы рысунак, і назіраючы змену боку a, мы можам запісаць роўнасць адносін для бясконца малых прыростаў бакоў с і a (выкарыстоўваючы падабенства трохвугольнікаў):
Карыстаючыся метадам падзелу зменных, знаходзім
Больш агульны выраз для змены гіпатэнузы ў выпадку прыросту абодвух катэтаў
Інтэгруючы гэтае ўраўненне і выкарыстоўваючы пачатковыя ўмовы, атрымліваем
Такім чынам, мы прыходзім да пажаданага адказу
Як няцяжка бачыць, квадратычнай залежнасць ў канчатковай формуле з’яўляецца дзякуючы лінейнай прапарцыянальнасці паміж бакамі трохвугольніка і прыростамі, у той час як сума звязана з незалежнымі ўнёскамі ад прыросту розных катэтаў.
Больш просты доказ можна атрымаць, калі лічыць, што адзін з катэтаў не змяняецца (у гэтым выпадку катэт ). Тады для канстанты інтэгравання атрымаем
Варыяцыі і абагульненні
Падобныя геаметрычныя фігуры на трох баках
Абагульненне тэарэмы Піфагора зрабіў Еўклід у сваёй працы «Пачаткі», пашырыўшы плошчы квадратаў на баках да плошчаў падобных геаметрычных фігурEuclid’s Elements: Book VI, Proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle.»:
Калі пабудаваць падобныя геаметрычныя фігуры (гл. Эўклідава геаметрыя) на баках прамавугольнага трохвугольніка, тады сума двух меншых фігур будзе раўняцца плошчы большай фігуры.
Галоўная ідэя гэтага абагульнення заключаецца ў тым, што плошча падобнай геаметрычнай фігуры прапарцыянальная квадрату любога свайго лінейнага памеру і ў прыватнасці квадрату даўжыні любога боку. Такім чынам, для падобных фігур з плошчамі A, B і C пабудаваных на баках з даўжынёй a, b і c, маем:
Але, па тэарэме Піфагора, a² + b² = c², тады A + B = C.
І наадварот, калі мы зможам даказаць, што A + B = C для трох падобных геаметрычных фігур без выкарыстання тэарэмы Піфагора, тады мы зможам даказаць саму тэарэму, рухаючыся ў зваротным кірунку. Напрыклад, стартавы цэнтральны трохвугольнік можа быць паўторна выкарыстаны як трохвугольнік C на гіпатэнузы, і два падобных прамавугольных трохвугольніка (A і B), пабудаваныя на двух іншых баках, якія ўтвараюцца ў выніку дзялення цэнтральнага трохвугольніка яго вышынёй. Сума двух меншых плошчаў трохвугольнікаў тады, відавочна, роўная плошчы трэцяга, такім чынам A + B = C і, выконваючы папярэдняе даказванне ў зваротным парадку, атрымаем тэарэму Піфагора a² + b² = c².
Тэарэма косінусаў
Тэарэма Піфагора — гэта прыватны выпадак больш агульнай тэарэмы косінусаў, якая звязвае даўжыні бакоў у адвольным трохвугольніку:
дзе θ — вугал паміж бакамі a і b.
Калі θ роўны 90 градусаў, тады cosθ = 0 і формула спрашчаецца да звычайнай тэарэмы Піфагора.