thumb|350px|Ступенныя функцыі з рознымі паказчыкамі ступені Ступе́нная, або ступе́неваяМатэматычная энцыклапедыя. / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 330. функцыя — функцыя выгляду , дзе (паказчык, або паказчык ступені) — некаторы рэчаісны лік. Да ступенных часта прылічваюць і функцыі выгляду , дзе k — нейкі множнік расцяжэнняВыгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — С. 312.. Існуе таксама камплекснае абагульненне ступеневай функцыі. На практыцы паказчык ступені амаль заўсёды з’яўляецца цэлым ці рацыянальным лікам.
Рэчаісная ступенная функцыя
Абсяг вызначэння Калі паказчык ступені — цэлы лік, то ступенную функцыю можна вызначыць на ўсёй лікавай прамой (магчыма, акрамя нуля). Калі , дзе — узаемна простыя лікі, — няцотны, то ступенная функцыя таксама вызначана пры любых рэчаісных x (магчыма, акрамя нуля). У агульным выпадку ступенная функцыя вызначана толькі пры (у абсяг вызначэння можа ўваходзіць і нуль, гл. ніжэй). Калі , то функцыя вызначана таксама і пры . Пры нуль ёсць асаблівым пунктам ступеннай функцыі.
Рацыянальны паказчык ступені Графікі ступеннай функцыі пры натуральным паказчыку n называюцца парабаламі парадку n. Пры атрымліваецца лінейная функцыя , называная прамой прапарцыйнай залежнасцю. Графікі функцый выгляду , дзе n — натуральны лік, называюцца гіпербаламі парадку n. Пры атрымліваецца функцыя , называная адваротнай прапарцыйнай залежнасцю. Калі , то функцыя ёсць арыфметычным коранем ступені n.
Прыклад: з трэцяга закону Кеплера вынікае, што перыяд T абарачэння планеты вакол Сонца звязаны з вялікай паўвоссю A яе арбіты наступным чынам: (паўкубічная парабала).
Уласцівасці
Функцыя непарыўная і бясконца дыферэнцавальная ва ўсіх кропках, у наваколлі якіх яна вызначана. Нуль, увогуле кажучы, ёсць асаблівым пунктам. Напрыклад, функцыя вызначана ў нулі і яго правым наваколлі, але яе вытворная у нулі не вызначана. На прамежку функцыя манатонна нарастае пры і манатонна спадае пры . Значэнні функцыі на гэтым прамежку дадатныя. Вытворная: . Першаісная: Калі , то Калі , маем
Камплексная ступенная функцыя
У агульным выпадку ступенная функцыя камплекснай зменнай z азначаецца як:
Тут паказчык ступені c — некаторы камплексны лік. Значэнне функцыі, адпаведнае галоўнаму значэнню лагарыфму, называецца галоўным значэннем ступені. Напрыклад, значэнне роўнае , дзе k — адвольны цэлы, а яго галоўнае значэнне роўнае .
Камплексная ступенная функцыя істотна адрозніваецца ад свайго рэчаіснага адменніку. З-за мнагазначнасці камплекснага лагарыфму яна, увогуле кажучы, таксама мае бясконца многа значэнняў. Аднак два выпадкі, важныя ў прыкладаннях, разглядаюцца асобна: Пры натуральным паказчыку ступені функцыя адназначная і n-лістная. Калі паказчык ступені — дадатны рацыянальны лік, г.зн. (нескарачальны) дроб , то функцыя будзе мець q розных значэнняў.
Гл. таксама Узвядзенне ў ступень Лагарыфм Мнагасклад
Крыніцы
Літаратура
Алгебра: вучэб. дапам. для 11-га кл. устаноў агул. сярэд. адукацыі з беларус. мовай навучання / А. П. Кузняцова[і інш.]; пад рэд. праф. Л. Б. Шнэпермана; пер. з рус. мовы Н. М. Алганавай. — 2-е выд., выпр. і дап. — Мінск: Нар. асвета, 2013. — 287 с.: іл. — 16 100 экз. — ISBN 978-985-03-1983-8.
Спасылкі
Катэгорыя:Элементарныя функцыі