Кальцо́, ці ко́лца — мноства з дзвюма аперацыямі, якія ўмоўна называюцца «складаннем» (" ") і «множаннем» (" "), прычым адносна складання ёсць абелева група, а «множанне» ўзгоднена са «складаннем» паводле размеркавальнага закона.
Прыкладам кальца з'яўляецца мноства цэлых лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.
Адмысловым выпадкам кальца з'яўляецца поле, якое адметна найперш тым, што для любога ненулявога элемента існуе адваротны (адносна множання), у выніку чаго становіцца магчымым вызначыць аперацыю дзялення. А вось у кальцы, у агульным выпадку, гэта не так.
Строгае азначэнне
Азначэнне кальца
Кальцо́м называецца мноства з аперацыямі складання (" ") і множання (" "), якія задавальняюць наступныя ўмовы: ёсць абелеваю групай (з нейтральным элементам 0) Складанне і множанне падпарадкоўваюцца размеркавальнаму закону: для любых справядліва: (левы размеркавальны закон) (правы размеркавальны закон)
Заўвага 1: у азначэнні кальца на аперацыю «множання» накладваецца толькі адна ўмова — размеркавальны закон (правы і левы). І таму, ўвогуле кажучы, у кальцы можа не існаваць адзінкі (адносна «множання»), «множанне» можа быць неперамяшчальным (некамутатыўным), могуць існаваць дзельнікі нуля і г.д.
Заўвага 2: наяўнасць двух размеркавальных законаў неабходна, таму што «множанне» можа быць неперамяшчальным (г.зн. значэнне «здабытку» залежыць ад парадку множнікаў).
Аксіёмы кальца
Мноства з аперацыямі складання (" ") і множання (" ") з'яўляецца кальцом, калі і толькі калі яно разам з аперацыямі задавальняе сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі кальца: Уласцівасці складання: (спалучальны закон) (перамяшчальны закон) Існуе элемент такі, што (нейтральны элемент) Для кожнага існуе адваротны адносна складання элемент , такі што (процілеглы элемент) Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання: (левы размеркавальны закон) (правы размеркавальны закон)
Заўвага: дзеля зручнасці, у фармулёўках аксіём прапушчаны словы ўзору "для любых ".
Літаратура
Катэгорыя:Тэорыя колцаў Катэгорыя:Абстрактная алгебра