Дзе́янне ў фізіцы — скалярная фізічная велічыня, якая з'яўляецца мерай руху фізічнай сістэмы. Дзеянне з'яўляецца матэматычным функцыяналам, які бярэ ў якасці аргумента траекторыю руху фізічнай сістэмы і вяртае ў якасці выніку рэчаісны лік.

Прынцып найменшага дзеяння ў класічнай механіцы пастулюе, што фізічная сістэма заўсёды трымаецца траекторыі з найменшым дзеяннем.

У квантавай механіцы, у фармулёўцы інтэгралаў па траекторыях, фізічная сістэма адначасова рухаецца па ўсіх магчымых траекторыях, прычым амплітуда імавернасці прытрымлівання пэўнай траекторыі вызначаецца дзеяннем гэтай траекторыі. Калі характэрнае дзеянне нашмат больш пастаяннай Планка, то амплітуда класічнай траекторыі з найменшым дзеяннем з'яўляецца пераважнай — такім чынам квантавая механіка пераходзіць у класічную.

Дзеянне — адна з найбольш фундаментальных фізічных велічынь, якая ўваходзіць ў сучасную фармулёўку большасці асноўных фізічных тэорый ва ўсіх фундаментальных раздзелах фізікі і мае пры гэтым велізарнае тэхнічнае значэнне ў тэарэтычнай фізіцы. Некалькі меншае значэнне можа мець у параўнальна больш прыкладных галінах, хоць і там нярэдка ўжываецца. Прымяняецца ў квантавай, класічнай і рэлятывісцкай фізіцы.

Мае фізічную размернасць энергія · час = імпульс · адлегласць, супадае з размернасцю моманту імпульсу. Па фізічным сэнсе дзеянне — фаза квантавай «хвалі імавернасці», дакладней — з-за іншай размернасці ў традыцыйных сістэмах фізічных адзінак (у тым ліку СІ) — прапарцыянальная гэтай фазе: — з пастаянным размерным каэфіцыентам — пастаяннай Планка.

Калі для нейкай сістэмы напісана дзеянне, то гэта ў прынцыпе вызначае і яе класічныя паводзіны (гэта значыць паводзіны сістэмы ў класічным прыбліжэнні), і яе квантавыя паводзіны. Першае — праз прынцып стацыянарнага (найменшага) дзеяння, другое — праз фейнманаўскі інтэграл па траекторыях. Пры гэтым само дзеянне запісваецца аднолькава, у адной і той жа форме, і для класічнага, і для квантавага выпадку, што робіць яго вельмі зручным інструментам (для квантавання праз фейнманаўскі інтэграл ў прынцыпе трэба ведаць толькі дзеянне, якое вызначанае для звычайных класічных траекторый, гэта значыць, запісанае гэтак жа, як і для класічнага прымянення).

Тэрміналогія

Гістарычна тэрміналогія даволі моцна вагалася, але ў цяперашні час прынята называць дзеяннем велічыню

або

дзе — час, — поўны набор каардынат, якія характарызуюць дынамічную сістэму (яе ), — набор скарасцей (вытворных па часе), — функцыя Лагранжа, якая залежыць ад N каардынат, N скарасцей, і часам яшчэ яўна ад часу, у класічнай механіцы супадае з рознасцю кінетычнай і патэнцыяльнай энергій; — функцыя Гамільтана, якая прадстаўляе сабой поўную энергію сістэмы, выражаную праз N каардынат, N спалучаных ім імпульсаў і часам яшчэ яўна праз час.

(Абодва азначэнні тоесныя, але па-рознаму выражаныя — першае ў адпаведнасці з лагранжавым фармалізмам, другое ў адпаведнасці з гамільтанавым).

Укарочаным дзеяннем прынята называць

дзе абазначэнні супадаюць з выкарыстанымі вышэй, а выраз у апошнім інтэграле - скалярны здабытак вектараў імпульсу і скорасці, які ў выпадку адной часціцы можна разглядаць у звычайным ньютанаўскім сэнсе.

Наогул, у гэтым пункце пад і маюцца на ўвазе абагульненыя каардынаты (якія не абавязкова супадаюць з дэкартавымі), абагульненыя скорасці, якія адпавядаюць гэтым каардынатам і кананічна спалучаныя гэтым каардынатам імпульсы. У прыватным выпадку яны могуць быць выбраны ў выглядзе дэкартавых каардынат, тады (у механіцы) адпаведныя імпульсы ўяўляюць сабой звычайныя кампаненты вектарных імпульсаў матэрыяльных пунктаў сістэмы.

Для размеркаваных сістэм (напрыклад, для палёў або пругкіх суцэльных асяроддзяў) дзеянне звычайна можа быць запісана так:

або

дзе — шчыльнасці функцый Лагранжа і Гамільтана адпаведна, — кропка прасторы, занятай асяроддзем або полем (часта — звычайнай трохмернай прасторы), — элемент аб'ёму гэтай прасторы, — значэнні абагульненых каардынат (напрыклад, зрушэнняў пругкага асяроддзя або — для поля — палявой зменнай, такой як, напрыклад, электрамагнітны патэнцыял) і абагульненых імпульсаў для дадзенай кропкі размеркаванай сістэмы (асяроддзя або поля). Інтэграванне праводзіцца і па прасторы, і па часе. Агульная колькасць каардынат і імпульсаў , якія апісваюць сістэму, як бачым, у гэтым выпадку бесканечная, бо іх колькасць канечная толькі для аднаго , а мноства саміх бесканечнае.

Агульны агляд

З сучаснага пункту гледжання дзеянне мае сэнс фазы хвалевай функцыі (праўда, выражанай традыцыйна — для больш прамой сувязі з класічнай механікай — у іншых адзінках, а канкрэтна , дзе — дзеянне, — фаза ў радыянах, а — універсальная пастаянная Планка).

Класічная фізіка (механіка і тэорыя поля) з'яўляецца высокачастотным і караткахвалевым прыбліжэннем квантавай, калі фазы хваль вельмі вялікія (), што азначае, што пры дадзеных («класічных») умовах эксперыменту (характэрныя памеры, характэрныя імпульсы і характэрныя энергіі разгляданай задачы) квантавыя папраўкі да класічнай тэорыі будуць досыць малыя (на практыцы часцей за ўсё настолькі малыя, што эксперыментальна нельга іх выявіць). У гэтым выпадку квантавая задача ў цэлым моцна спрашчаецца, пераходзячы ў класічную, і можна карыстацца прынцыпам найменшага дзеяння і / або ўраўненнем Гамільтана — Якобі, у якіх дзеянне працягвае іграць ключавую ролю.

У квантавай жа фізіцы — пры рашэнні той жа задачы без ўмовы , дзеянне адыгрывае асабліва вялікую ролю ў фармалізме фейнманаўскага інтэграла па траекторыях. Акрамя таго, частка вынікаў тэорыі класічнага поля дастаткова прама пераносіцца ў пэўным сэнсе на квантавы выпадак, а паколькі дзеянне з'яўляецца адным з самых простых аб'ектаў, маніпуляванне з ім (а перш за ўсё само напісанне дзеяння для дадзенай дынамічнай сістэмы — поля, часціцы, палёў або часціц, якія ўзаемадзейнічаюць, або іншых аб'ектаў) часта з'яўляецца адным з вельмі эфектыўных інструментаў пры фармулёўцы квантавай тэорыі розных палёў, нават калі гэта не звязана з напісаннем інтэграла па траекторыях і работы з ім у яўным выглядзе.

Дзеянне ў класічнай механіцы

Дзеянне ў класічнай механіцы запісваецца ў двух формах, у канчатковым выніку эквівалентных: лагранжавай:

або гамільтанавай:

(Пра ўкарочанае дзеянне — гл. ў параграфе «Тэрміналогія» вышэй).

Нягледзячы на ​​эквівалентнасць у канчатковым выніку, кожная форма запісу дзеяння, і лагранжава, і гамільтанава, валодае сваімі ўласнымі тэхнічнымі і ідэйнымі перавагамі. Кожная з іх можа лічыцца асновай для пабудовы (на аснове прынцыпу найменшага (або стацыянарнага) дзеяння) адпаведна лагранжавай і гамільтанавай форм механікі. А менавіта, ажыццяўляючы прамое вар'іраванне першага дзеяння па кожнаму незалежна ад іншых — або — што эквівалентна — напісаўшы для гэтага функцыянала ўраўненні Эйлера — Лагранжа, для другой жа формы — вар'іруючы незалежна па кожным і (запісаўшы ўраўненні Гамільтана), няцяжка атрымаць ураўненні руху адпаведна ў лагранжавай і гамільтанавай форме. У прыватным выпадку выкарыстання дэкартавых каардынат гэта будуць ньютанаўскія ўраўненні руху.

Выводзячы ўраўненні руху з прыдатным выбарам каардынат (наогул кажучы, не дэкартавых) і з выкарыстаннем метаду нявызначаных множнікаў Лагранжа, няцяжка атрымаць у зручным выглядзе і ўраўненні руху для сістэм з сувязямі, часам выключаючы з іх рэакцыі сувязей (што можа прыкметна спрашчаць ураўненні).

Варта заўважыць, што пры ўсёй фундаментальнай значнасці канцэпцыя дзеяння не пакрывае некаторых выпадкаў макраскапічнай механікі, напрыклад, не дазваляе напісаць дзеянне ў выпадку наяўнасці адвольных дысіпатыўных сіл, і адпаведна не дазваляе скарыстацца для іх апісання прынцыпам найменшага дзеянні.

Класічнае дзеянне — з сучаснага погляду — гэта велічыня, прапарцыянальная фазе квантавай хвалевай функцыі адпаведнай часціцы або сістэмы (па сутнасці гэта і ёсць фаза, толькі вымераная ў іншых адзінках; аднак каэфіцыент прапарцыянальнасці ўнутры класічнай механікі невядомы — гэта істотна квантавая велічыня, з пункту гледжання класічнай механікі важна толькі, што ён вельмі малы). Сама ж класічная механіка ёсць караткахвалевая граніца квантавай, і можа быць атрымана з яе пераходам .

Дзеянне для размеркаваных сістэм

Для механічных размеркаваных сістэм (напрыклад, для пругкіх суцэльных асяроддзяў) дзеянне звычайна можа быць запісана так:

або

дзе — элемент аб'ёму, трохмерны ў выпадку апісання палёў у трохмернай прасторы, — шчыльнасці функцыі Лагранжа і функцыі Гамільтана, і — палявыя зменныя (напрыклад, патэнцыялы), якія адпавядаюць скорасці і кананічна спалучаныя імпульсы. Кожная такая палявая зменная, скорасць і імпульс ёсць функцыя «прасторавых» зменных і часу, прадстаўляючы сабой, такім чынам, бесканечнамерны (з улікам фізічнага прадстаўлення аб магчымай атамнай дыскрэтызацыі размеркаванай сістэмы — проста вельмі шматмерны) вектар. Вылучэнне асобнай каардынаты зводзіцца да раскладання па нейкім базісе (гэта можа быць, напрыклад, базіс з дэльта-функцый, які зводзіць усё ў сутнасці да граніцы дыскрэтнай задачы, але, мабыць, яшчэ часцей прымяняецца з-за сваёй зручнасці пераўтварэнне Фур'е).

Для немеханічных размеркаваных сістэм падобны запіс магчымы на аснове аналогіі з механічнымі. У прыватнасці, падобны спосаб працуе для фундаментальных палёў, якія фармальна таксама падыходзяць пад азначэнне размеркаваных сістэм (хоць можна лічыць і гэта толькі аналогіяй, пытанне таго ці іншага выбару тут — у сутнасці тэрміналагічнае). Падрабязна фундаментальныя фізічныя палі разгледжаны ў асобным параграфе, хоць звычайныя размеркаваныя сістэмы, механічныя у асаблівасці, даюць увогуле досыць добрыя мадэлі, якія спрыяюць разуменню пабудовы дынамікі гэтых палёў і, у прыватнасці, пытанняў, звязаных з дзеяннем.

Прыклады

Для аднароднай ізатропнай суцэльнай лінейнай (падпарадкавальнай закону Гука; у рэальнасці гэта амаль заўсёды прадугледжвае абмежаванне прымянімасці мадэлі выпадкамі малых дэфармацый) пругкага асяроддзя, якое запаўняе трохмерную прастору або яе вобласць, можна ў найпрасцейшым выпадку запісаць дзеянне як

дзе — шчыльнасць асяроддзя, — модуль пругкасці, — адхіленне пругкага асяроддзя ў гэтай кропцы ў дадзены момант часу ад умоўнага становішча раўнавагі — гэта размеркаваная абагульненая каардыната (у дадзенай задачы гэта трохмерны вектар, але менавіта пры сфармуляваных умовах можна разглядаць кожную з яго кампанент асобна), — скорасць змянення з часам — размеркаваная скорасць, таксама функцыя ад ; — аператар градыента скалярнай функцыі , тут — квадрат модуля градыента, роўны суме квадратаў вытворных па кожнай каардынаце.

Вар'іраванне гэтага функцыянала па дае ўраўненне руху ў выглядзе звычайнага хвалевага ўраўнення незалежна для кожнай кампаненты , гэта значыць для .

Выпісанае дзеянне лёгка можа быць выкарыстана і для неаднароднага асяроддзя, гэта значыць для непастаянных і , таксама яно прама абагульняецца на анізатропнае асяроддзе з тэнзарным . Ва ўсіх гэтых выпадках ураўненне руху асяроддзя будзе ўжо прыкметна адрознівацца ад звычайнага хвалевага, але можа быць практычна гэтак жа лёгка атрымана вар'іраваннем гэтага дзеяння.

Дзеянне ў класічнай тэорыі поля

Дзеянне ў класічнай тэорыі поля выкарыстоўваецца для атрымання ўраўненняў поля (як свабодных, так і з крыніцамі) з прынцыпу стацыянарнага (найменшага) дзеяння (вар'іраваннем па палявых пераменных). Таксама яно выкарыстоўваецца для атрымання ўраўненняў руху часціц пры ўзаемадзеянні з дадзеным полем, таксама праз прынцып стацыянарнага (найменшага) дзеяння, але вар'іраваннем ўжо па каардынатах (а ў гамільтанавым варыянце — і па імпульсах) часціц.