Гама-функцыя (або Эйлераў інтэграл другога роду) — матэматычная функцыя, якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай гама .
Для натуральных справядліва роўнасць:
Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогай збежнага неўласцівага інтэграла:
Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.
Была ўведзена Леанардам Эйлерам, а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру.
Азначэнні
Інтэгральнае азначэнне Калі рэчаісная частка камплекснага ліку дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл
На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць
Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля
дзе контур — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.
Наступныя выразы з’яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.
Азначэнне па Гаусу Яно вернае для ўсіх камплексных , за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў
Азначэнне па Эйлеру
Азначэнне па Веерштрасу
дзе — пастаянная Эйлера — Маскероні.
Заўвагі Вышэйпрыведзены інтэграл збягаецца абсалютна, калі рэчаісная частка камплекснага ліку дадатна. Прымяняючы інтэграванне па частках, можна паказаць, што тоеснасць
справядліва для падынтэгральнага выразу. Паколькі , для ўсіх натуральных лікаў
з’яўляецца мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах
Звязаныя азначэнні Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая пі-функцыя, якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:
У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю, якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:
і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:
Уласцівасці
Формула дапаўнення Эйлера:
З яе вынікае :
якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:
Гама-функцыя мае полюс у для любога натуральнага і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так:
Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас, верна для ўсіх камплексных , акрамя недадатных цэлых лікаў:
дзе — пастаянная Эйлера — Маскероні. Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння: . Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і
дзе часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй. Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі:
Асобныя значэнні Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:
дзе — лікаў і .
Гл. таксама Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера K-функцыя G-функцыя Барнса Бэта-функцыя Гама-размеркаванне Няпоўная гама-функцыя Формула Стырлінга
Літаратура
Спасылкі
Катэгорыя:Спецыяльныя функцыі