Рангам сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы з радкоў і слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выражаецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.
Ранг матрыцы — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, няроўных нулю.
Ранг матрыцы — размернасць вобраза лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.
Звычайна ранг матрыцы абазначаецца () або . Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрага іншых моў.
Азначэнне
Хай — прамавугольная матрыца.
Тады па азначэнні рангам матрыцы з’яўляецца:
нуль, калі — нулявая матрыца; лік , дзе — мінор матрыцы парадку , а — аблямоўваючы яго мінор парадку , калі яны існуюць.
Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў). Хай усе міноры матрыцы парадку роўныя нулю (). Тады , калі яны існуюць.
Звязаныя азначэнні
Ранг матрыцы памеру называюць поўным, калі . Базісны мінор матрыцы — любы ненулявы мінор матрыцы парадку , дзе . Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца базіснымі радкамі і слупкамі. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)
Уласцівасці
Тэарэма (аб базісным міноры): Няхай — базісны мінор матрыцы , тады: базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя; любы радок (слупок) матрыцы ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў). Следства: Калі ранг матрыцы роўны , то любыя радкоў ці слупкоў гэтай матрыцы будуць лінейна залежныя. Калі — квадратная матрыца, і , то радкі і слупкі гэтай матрыцы лінейна залежныя. Хай , тады максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў (слупкоў) гэтай матрыцы роўная . Тэарэма (аб інварыянтнасці рангу пры элементарных пераўтварэннях): Увядзём абазначэнне для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі , то іх рангі роўныя. Тэарэма Кронекера — Капелі: Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў сумесная тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўны рангу яе пашыранай матрыцы. У прыватнасці: Колькасць галоўных пераменных сістэмы роўна рангу сістэмы. Сумесная сістэма будзе вызначанай (яе рашэнне адзіным), калі ранг сістэмы роўны ліку ўсіх яе зменных.
Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы
Няхай — матрыца памеру над полем (або ). Няхай — лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае ў стандартным базісе; гэта значыць, што . Ранг матрыцы — гэта размернасць вобласці значэнняў пераўтварэння .
Метады
Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:
Метад элементарных пераўтварэнняў
Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеньчатай формы пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.
Метад аблямоўваючых мінораў
Няхай ў матрыцы знойдзены ненулявы мінор -га парадку . Разгледзім усе міноры -га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор ; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны . У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца.
Літаратура
Катэгорыя:Матрычныя інварыянты Катэгорыя:Лінейная алгебра