Дзялі́масць — адно з асноўных паняццяў арыфметыкі і тэорыі лікаў, звязанае з аперацыяй дзялення. З пункту погляду тэорыі мностваў, дзялімасць цэлых лікаў з'яўляецца дачыненнем, вызначаным на мностве цэлых лікаў.

Азначэнне

Калі для некаторага цэлага ліку і цэлага ліку існуе такі цэлы лік , што то кажуць, што лік дзеліцца цалкам (ці дзеліцца без астачы) на або што дзеліць

Пры гэтым лік называецца дзельнікам ліку , дзеліва будзе кратным ліку , а лік q называецца дзеллю ад дзялення a на b.

Хоць уласцівасць дзялімасці вызначана на ўсём мностве цэлых лікаў, звычайна разглядаецца толькі дзялімасць натуральных лікаў. У прыватнасці, функцыя колькасці дзельнікаў натуральнага ліку падлічвае толькі яго дадатныя дзельнікі.

Абазначэнні Запіс абазначае, што дзеліцца на , ці, што тое самае, лік кратны ліку . Запіс ці абазначае, што дзеліць , ці, што тое ж: — дзельнік .

Звязаныя азначэнні У кожнага натуральнага ліку, большага за адзінку, ёсць прынамсі два натуральныя дзельнікі: адзінка і сам гэты лік. Пры гэтым натуральныя лікі, у якіх роўна два дзельнікі, называюцца простымі, а тыя, у якіх больш за два дзельнікі — састаўнымі. Адзінка мае роўна адзін дзельнік і не з'яўляецца ні простым, ні састаўным лікам. У кожнага натуральнага ліку, большага за 1, ёсць хоць адзін просты дзельнік. Уласным дзельнікам ліку называецца ўсякі яго дзельнік, не роўны самому ліку. У простых лікаў ёсць роўна адзін уласны дзельнік — адзінка. Незалежна ад дзялімасці цэлага ліку на цэлы лік , лік a заўсёды можна падзяліць на b з астачаю, г. зн. прадставіць у выглядзе:

дзе . У гэтых суадносінах лік называецца няпоўнаю дзеллю, а лік r — астачаю ад дзялення на . Як дзель, так і астача вызначаюцца адназначна. Лік a дзеліцца цалкам на b тады і толькі тады, калі астача ад дзялення a на b роўная нулю. Усякі лік, які дзеліць як , так і , называецца іх агульным дзельнікам; найбольшы з такіх лікаў называецца найбольшым агульным дзельнікам. Любая пара цэлых лікаў мае сама менш два агульныя дзельнікі: +1 і -1. Калі іншых агульных дзельнікаў няма, то гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі.

Уласцівасці Заўвага: ва ўсіх формулах гэтага раздзела мяркуецца, што — цэлыя лікі.

Любы цэлы лік з'яўляецца дзельнікам нуля, і дзель роўная нулю:

Любы цэлы лік дзеліцца на адзінку:

На нуль дзеліцца толькі нуль: , прычым дзель у гэтым выпадку не вызначана.

Адзінка дзеліцца толькі на адзінку:

Для любога цэлага ліку знойдзецца такі цэлы лік для якога Калі і то Адсюль жа вынікае, што калі і то Для таго каб неабходна і дастаткова, каб Калі то Уласцівасць дзялімасці з'яўляецца дачыненнем нястрогага парадку і, адпаведна, яно: рэфлексіўнае, г. зн. любы цэлы лік дзеліцца на сябе: транзітыўнае, г. зн. калі і то антысіметрычнае, г. зн. калі і то альбо альбо

Лік дзельнікаў

Лік дадатных дзельнікаў натуральнага ліку звычайна абазначаецца і з'яўляецца мультыплікатыўнаю функцыяй, для яе справядліва асімптатычная формула Дзірыхле:

дзе — пастаянная Эйлера — Маскероні, а для Дзірыхле атрымаў значэнне Гэты вынік неаднаразова паляпшаўся, і на сёння найлепшы вядомы вынік (атрыман у 2003 годзе Хакслі). Аднак, найменшае значэнне , пры якім гэта формула застаецца вернаю, невядома (даказана, што яно не меншае, чым )Аналитическая теория чисел.

Пры гэтым сярэдні дзельнік вялікага ліку у сярэднім расце як , што было выяўлена А. Карацубам. Паводле камп'ютарных ацэнак М. Каралёва .

Абагульненні Паняцце дзялімасці абагульняецца на адвольныя колцы, напрыклад колца мнагачленаў.

Гл. таксама Дзяленне з астачай Прыкметы дзялімасці Дзяленне Параўнанне па модулю Колца Фактарызацыя

Літаратура Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.

Спасылкі Відэа пра дзялімасць

Катэгорыя:Матэматычныя дачыненні Катэгорыя:Тэорыя лікаў Катэгорыя:Арыфметыка