Праблемы Гільберта — спіс з 23 кардынальных праблем матэматыкі, прадстаўлены Давідам Гільбертам на II Міжнародным Кангрэсе матэматыкаў у Парыжы ў 1900 годзе. Тады гэтыя праблемы (якія ахопліваюць асновы матэматыкі, алгебру, тэорыю лікаў, геаметрыю, тапалогію, алгебраічную геаметрыю, групы Лі, рэчаісны і камплексны аналіз, дыферэнцыяльныя ўраўненні, матэматычную фізіку і тэорыю імавернасцей, а таксама варыяцыйнае злічэнне) не былі рэшаны. На сёння вырашана 16 праблем з 23. Яшчэ 2 не з'яўляюцца карэктнымі матэматычнымі праблемамі (адна сфармулявана занадта расплыўчата, каб зразумець, вырашана яна ці не; другая, далёкая ад рашэння, — фізічная, а не матэматычная). З астатніх 5 праблем дзве не вырашаныя ніяк, а тры вырашаныя толькі для некаторых выпадкаў.
Спіс праблем № Кароткая фармулёўка Статус Вынік Год рашэння1-яПраблема Кантара аб магутнасці кантынуума (Кантынуум-гіпотэза)Невырашальная ў ZFC19632-яНесупярэчлівасць аксіём арыфметыкі.Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі3-яРоўнасастаўленасць роўнавялікіх мнагаграннікаўАбвергнута19004-яПералічыць метрыкі, у якіх прамыя з'яўляюцца геадэзічнымі лініяміПатрабуе ўдакладнення фармулёўкі5-яЦі ўсе непарыўныя групы з'яўляюцца групамі Лі?Так19536-яМатэматычная апрацоўка аксіём фізікі7-яЦі з'яўляецца лік трансцэндэнтным (ці хаця б ірацыянальным)?Вырашана Зігелем і Гельфандам (і незалежна Шнайдэрам) у больш агульным выглядзе: калі a ≠ 0, 1 — алгебраічны лік, і b — алгебраічны іррацыянальны, то ab — трансцэндэнтны лік</td>Так19358-яПраблема простых лікаў (гіпотэза Рымана і праблема Гольдбаха)Даказана тэрнарная гіпотэза ГольдбахаTerence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…Major arcs for Goldbach's theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913.9-яДоказ найбольш агульнага закона ўзаемнасці ў любым лікавым поліДаказана для абелевага выпадку10-яЦі ёсць універсальны алгарытм рашэння дыяфантавых ураўненняў?Няма197011-яДаследаванне квадратычных форм з адвольнымі алгебраічнымі лікавымі каэфіцыентамі12-яРаспаўсюджанне тэарэмы Кронекера аб абелевых палях на адвольную алгебраічную вобласць рацыянальнасці13-яЦі можна рашыць агульнае ўраўненне сёмай ступені з дапамогай функцый, якія залежаць толькі ад дзвюх зменных?Так195714-яДоказ канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў лінейнай алгебраічнай групыСцвярджэнне аб канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў даказана для адвольных дзеянняў рэдуктыўных груп на афінных алгебраічных мнагастайнасцях. Нагата ў 1958 годзе пабудаваў прыклад лінейнага дзеяння уніпатэнтнай групы на 32-мернай вектарнай прасторы, для якой алгебра інварыянтаў не з'яўляецца канечна спароджанай. В. Л. Папоў даказаў, што калі алгебра інварыянтаў любога дзеяння алгебраічнай групы G на афіннай алгебраічнай мнагастайнасці канечна спароджаная, то група G рэдуктыўная.Абвергнута195915-яСтрогае абгрунтаванне пералічальнай геаметрыі Шуберта16-яТапалогія алгебраічных крывых і паверхняўПрыведзены пераклад зыходнай назвы праблемы, дадзенай Гільбертам: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen». Аднак, больш дакладна яе змест (як ён разглядаецца сёння) можна было б перадаць наступнай назвай: «Колькасць і размяшчэнне авалаў рэчаіснай алгебраічнай крывой дадзенай ступені на плоскасці; лік і размяшчэнне гранічных цыклаў полінаміяльнага вектарнага поля дадзенай ступені на плоскасці». Верагодна (як можна ўбачыць з англійскага перакладу тэксту анонса ), Гільберт лічыў, што дыферэнцыяльная частка (якая ў рэальнасці аказалася значна цяжэйшая за алгебраічную) будзе паддавацца рашэнню тымі ж метадамі, што і алгебраічная, і таму не ўключыў яе ў назву.17-яЦі можна прадставіць вызначаныя формы ў выглядзе сумы квадратаўТак192718-я Ці канечны лік крышталеграфічных груп? Ці існуюць нерэгулярныя запаўненні прасторы кангруэнтнымі мнагаграннікамі? Ці з'яўляюцца гексаганальная і кубічная гранецэнтраваная ўпакоўкі шароў найбольш шчыльнымі? Так Так Так ? 1928 199819-яЦі заўсёды рашэнні рэгулярнай варыяцыйнай задачы Лагранжа з'яўляюцца аналітычнымі?Так195720-яЦі ўсе варыяцыйныя задачы з вызначанымі межавымі ўмовамі маюць рашэнні?Так?21-яДоказ існавання лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў з зададзенай групай монадрамііУ залежнасці ад удакладнення фармулёўкі: ёсць / няма?22-яУніфармізацыя аналітычных залежнасцей з дапамогай аўтаморфных функцый?23-яРазвіццё метадаў варыяцыйнага злічэння
24-я праблема Асноўны артыкул: Першапачаткова спіс утрымліваў 24 праблемы, але ў працэсе падрыхтоўкі к дакладу Гільберт адмовіўся ад адной з іх. Гэтая праблема была звязана з тэорыяй доказаў крытэрыя прастаты і агульных метадаў. Дадзеная праблема была знойдзена ў заметках Гільберта нямецкім гісторыкам навукі Рудыгерам Ціле ў 2000 годзеRüdiger Thiele. Hilbert's twenty-fourth problem // The American Mathematical Monthly, January 2003, pp. 1-24..
Гл. таксама Праблемы Смэйла Праблемы тысячагоддзя Адкрытыя матэматычныя праблемы
Зноскі
Літаратура
Спасылкі Арыгінальны тэкст даклада Гільберта на нямецкай мове Рускі пераклад даклада Гільберта (уводная частка і заключэнне)
Гільберта Катэгорыя:Гісторыя матэматыкі Катэгорыя:Адкрытыя матэматычныя праблемы