Фо́рмула Герона дазваляе вылічыць плошчу трохвугольніка (S) па яго баках a, b, c:
дзе p — паўперыметр трохвугольніка: .
Гісторыя
Гэта формула ўтрымліваецца ў «Метрыцы» Герона Александрыйскага (I стагоддзя н. э.) і названая ў яго гонар. Герон цікавіўся трохвугольнікамі з цэлалікавымі бакамі, плошчы якіх таксама з’яўляюцца цэлымі. Такія трохвугольнікі носяць назву геронавых трохвугольнікаў. Прасцейшым геронавым трохвугольнікам з’яўляецца егіпецкі трохвугольнік.
Варыяцыі і абагульненні Выразіўшы паўперыметр праз паўсуму ўсіх бакоў дадзенага трохвугольніка, прыйдзем да формулы выгляду:
Плошча ўпісанага ў акружнасць чатырохвугольніка вылічваецца па формуле Брахмагупты:
дзе — паўперыметр чатырохвугольніка. (Трохвугольнік з’яўляецца лімітавым выпадкам упісанага чатырохвугольніка пры памкненні даўжыні адной з бакоў да нуля.) Тэарэма Люілье. Плошча сферычнага трохвугольніка выяўляецца праз яго бакі як: , где — паўпрыметр.
Для тэтраэдраў з’яўляецца ісціннай формула Герона — Тарталья, якая абагульнена таксама на выпадак іншых мнагаграннікаў (гл. выгінаныя мнагаграннікі): калі ў тэтраэдра даўжыні кантаў роўныя , то для яго аб’ёма ісцінны выраз .
Формулу Герона можна запісаць з дапамогай вызначальніка ў выглядзе:
Яна з’яўляецца прыватным выпадкам вызначальніка Кэлі — Менгера для вылічэння гіпераб’ёма сімплекса.
Гл. таксама Тэарэма катангенсаў
Літаратура § 258 у
— доказ формулы Герона на аснове тэарэмы Піфагора
Катэгорыя:Геаметрыя трохвугольніка Герона Катэгорыя:Планіметрыя Катэгорыя:Плошча