Алгоритъмът на Евклид е алгоритъм за намиране на най-големия общ делител (НОД) на две естествени числа. Той е един от първите публикувани алгоритми. Описан е в книгата на Евклид „Елементи“ около 300 г. пр.н.е.
Теория Нека и са естествени числа и редицата
е определена така, че всяко е остатък от делението на пред-предния член на предния член, т.е.
Тогава – най-големият общ делител на и , е равен на – последния ненулев член на редицата.
Верността на алгоритъма следва от съжденията: Нека , тогава за всяко ненулево
Запис с думи Взимайки двете дадени на входа на алгоритъма числа a и b, провери дали b е равно на 0. Ако да, числото a е търсеният най-голям общ делител. Ако не, повтори процеса, като използваш за входни данни b и остатъка, получен при деленето a на b (означаван по-долу с a mod b)
Рекурсивен запис function gcd(a, b) if b = 0 return a else return gcd(b, a mod b);
Процедурен запис // := е оператор за присвояване на стойност function gcd(a, b) while b ≠ 0 var t := b b := a mod b a := t return a
Във всяка стъпка по-голямото число се заменя с остатъка му от деление на другото число (ако в първата стъпка има 8 и 6, то във втората ще има 2 и 6). Това се повтаря докато едно от двете числа не стане 0. Тогава отговорът е другото число (ако се продължи от предния пример, на третата стъпка числата ще са 2 и 0, от което се разбира, че НОД на 8 и 6 е 2).
Този алгоритъм е по-ефективен от споменатата по-долу негова вариация.
Без използване на деление function gcd(a, b) while a ≠ b if a > b a := a – b else b := b – a return a
Пример Най-големият общ делител на числата 1071 и 1029 се пресмята по следния начин:
Следователно търсеният делител е 21.
Категория:Алгоритми Категория:Теория на числата