π (произнася се пи) е математическа константа, която представлява отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър и обикновено се използва в математиката, физиката и техниката. Името на гръцката буква π се произнася „пи“. π е познато още като Лудолфово число и като Архимедова константа (да не се бърка с Архимедовото число).
Числова стойност
В евклидовата геометрия π може да бъде дефинирано както като отношение между дължината и диаметъра на една окръжност, така и като отношение на лицето на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия радиус. Във висшата математика π се дефинира аналитично чрез използване на тригонометрични функции, например като най-малкото положително x, за което sinx = 0, или като удвоеното най-малко положително x, за което cosx = 0 (удвоеното най-малко положително x, за което sinx = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни.
Числото π е приблизително равно на 22/7 или на 3,14 с точност до третата значеща цифра.
Числовата стойност на π, закръглена до 100-тния знак след десетичната запетая, е 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679
Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със суперкомпютри, определили повече от 1 трилион цифри на π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен персонален компютър може да изчисли трилиони цифри с наличния софтуер.
В средата на 2024 г. броят на известните значещи цифри от десетичното представяне на пи възлиза на 202 трилиона.Numberworld.org news Още през 2009 г. френският програмист Фабрис Белар е достигнал точност при 2 699 999 990 000 цифри, ползвайки компютър с цена под 2000 евро.C операционна система 64-битова версия на Red Hat Fedora 10; конфигурацията включва процесор Core i7 CPU, 2.93 GHz, памет 6 GB и пет диска в масив 7.5 TB RAID-0
Приблизителни стойности на π, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (според Архимед) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).
Съществуват различни мнемотехнически начини за лесно запомняне на π. Закръглено с точност до десетия знак, π може да се запомни чрез следното изречение, в което всяка дума има съответния брой букви:
Как е леко и лесно запомнено π, всички знаят, щом желаят! 3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6
Вариант на английски с точност до десетия знак е:
May I have a large container of coffee right now, please? 3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6
Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви пресмятания.
Особености
π е ирационално число, т.е. то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Това е доказано през 1761 от Йохан Хайнрих Ламберт. π е също трансцендентно число (доказано през 1882 от Фердинанд фон Линдеман). Това означава, че няма полином с рационални коефициенти, корен на който да е π. Вследствие на трансцендентността π не е построимо число. От изискването координатите на всички точки, които могат да се построят с линия и пергел, да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за квадратурата на кръга (построяване с линия и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг).
Формули, касаещи π Геометрия е част от много формули в геометрията, отнасящи се до окръжности и сфери.
+Геометрична формаФормулаДължина на окръжност с радиус r и диаметър dЛице на кръг с радиус rЛице на елипса с полуоси a и bОбем на кълбо с радиус r и диаметър dПовърхнина на сфера с радиус rОбем на цилиндър с височина h и радиус на основата r,Повърхнина на цилиндър с височина h и радиус на основата rОбем на конус с височина h и радиус на основата rПовърхнина на прав кръгов конус с височина h и радиус r
(Всички формули са следствие от първата, ако лицето S на кръга бъде представено като .)
Също така ъгъл от 180° (градуса) е равен на π радиана.
Анализ Много от формулите в анализа съдържат π, включително представянето на безкрайни редове, интегралите и т.нар. специални математически функции.
Формула на Виет, 1593 (доказателство):
Формула на Лайбниц (доказателство):
Представяне на Уолис (доказателство):
Метод на Джон Мачин (John Machin)
Алгоритъм на Бейли – Борвин – Плюф (вж. Bailey, 1997 и официална страница на Бейли )
Гаусов интеграл:
Задача на Базел, решена от Ойлер (вж. също Дзета-функция на Риман):
и в заключение, е рационално кратно на за цяло положително n. Гама-функция, изчислена при стойност на аргумента 1/2:
Приближение на Стирлинг:
Равенство на Ойлер (наречено от Ричард Файнман „най-забележителната формула в математиката“):
Следствие от Ойлеровата сума (вж. също анализ на Фурие):
Лице на 1/4 от единичния кръг:
Следствие на теоремата за резидуумите
където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока, обратна на часовниковата стрелка.
Безкрайни дроби π може да се представи с помощта на верижни дроби по много начини, най-известният от които е:
(Други форми на представяне можете да намерите на The Wolfram Functions Site.)
Теория на числата Някои изводи от теорията на числата: Вероятността две произволни цели числа да са взаимно прости е 6/π2. Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно квадратно число е 6/π2. Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е π/4. Произведението от (1 – 1/p2) за прости p, е 6/π2.
Бележки
Вижте също Денят Пи
Външни препратки Пи, изчислено до 1 милион знака (от проекта Гутенберг) Пи, изчислено до почти 2,7 трилиона знака
Категория:Математически константи Категория:Трансцендентни числа