Хиперболичната функция е въведена по аналогия с познатите от елементарната геометрия тригонометрични функции, чрез замяна на реалния аргумент с чисто имагинерен.
Тригонометричните функции се наричат още кръгови, тъй като за тях е в сила , докато за хиперболическите , което е уравнение за хипербола, като променливите са съответните означения за хиперболичен косинус и синус. Графиката на тази функция никога не пресича началото О и осите Ox или Oy на координатната система. Графиката на хиперболата може да се даде в табличен вид за произволни стойности в интервалите (-∞;-1) и (1;+∞). Препоръчително е за x да се изберат 3 отрицателни числа и същите 3 числа обаче с положителен знак и в обратен ред. Примерно -3; -2; -1; 1; 2; 3.
Стандартни аналитични изрази
Хиперболичните функции са: Хиперболичен синус: . Хиперболичен косинус: . Хиперболичен тангенс:
. Хиперболичен котангенс:
Хиперболичен секанс:
Хиперболичен косеканс:
Хиперболичните функции могат да бъдат изведени и в комплексна форма:
Хиперболичен синус:
Хиперболичен косинус:
Хиперболичен тангенс:
Хиперболичен котангенс:
Хиперболичен секанс:
Хиперболичен косеканс:
където е имагинерната единица със свойство .
Комплексните форми в по-горните определения се извеждат от формулата на Ойлер.
Специален смисъл Хиперболичен косинус Може да бъде доказано, че площта под кривата на cosh (x) в краен интервал е винаги равна на дължината на дъгата, съответстваща на този интервал:
Хиперболичен тангенс Хиперболичният тангенс е решението на диференциалното уравнение за f(0)=0 и нелинейната краева задача:
Вижте още Обратни хиперболични функции
Източници
Категория:Видове функции