В математиката, умножение на матрици е бинарна операция, при която от две матрици се изчислява нова матрица. Число от реалните или комплексни числа може да бъде умножено според елементарната аритметика. От друга страна, матриците са масиви от числа, така че не съществува един-единствен начин да се дефинира „умножението“ на матрици. Затова терминът „умножение на матрици“ се отнася до различни начини за умножение на матрици. Основните особености на което и да е умножение на матрици включва: броят на редовете и колоните на изходните матрици (наричат се „размер“, „ред“ или „измерение“), и упоменават как клетките на матрицата генерират новата матрица.
Както векторите, матрици с какъвто и да е размер могат да бъдат умножени по скалари, което се свежда до умножаване на всяка една от клетките по едно и също число. Подобно на определението за добавяне или изваждане на матрици, се прави и умножението на две матрици с еднакъв размер на съответните клетки и резултатът се нарича произведение на Адамар. Другият начин е да се получи произведение на Крокенер от две матрици, за да се получи матрица с блочна форма.
Могат да бъдат изведени още много определения. Най-полезната дефиниция може да бъде продиктувана от линейно уравнение и линейна трансформация на вектори, които имат приложение в математиката, физиката, и инженерството. Това определение често се нарича матрично произведение. С други думи, ако е матрица и е матрица, тяхното матрично произведение е матрица, в която клетките по редовете се умножават с клетките по колоните .
Тази дефиниция не е комутативна, въпреки че запазва своята асоциативност и дистрибутивност при събирането на матричните клетки. Единичният елемент на матричното произведение (аналогично на умножаване на числа по едно), и квадратна матрица могат да имат обратима матрица (аналогично на реципрочна стойност на число). Последствие от матричното произведение е детерминантна мултипликативност. Получаването на матрично произведение е важна операция в линейните трансформации, матрична група и теорията за групова репрезентация и редуцибилната репрезентация.
Изчисляването на матрични произведения е основна операция в много числови алгоритмии има вероятност да е времеотнемаща, което я прави един от най-изучаваните проблеми в цифровите изчисления. Измислени са различни алгоритми за изчисляване на , особено за големи матрици.
Тази статия спазва следните конвенции: матриците са представени от главни букви с удебелен шрифт, например , вектори с малки букви с удебелен шрифт, например , а клетките на векторите и матриците са с наклонен шрифт (тъй като са скалари), например и . Индексната нотация често е най-ясният начин да се изразят определенията, и е приета като стандарт в литературата. Клетката на матрица се обозначава от или , докато a цифрово обозначение (не матрична клетка) в колекция от матрици само е подчертано, например: , и т.н.
Скаларно умножение
Най-простата форма на умножение на матрици е скаларното умножение, което е частен случай на произведението на Кронекер.
Лявото скаларно умножение на матрица със скаларен множител дава друга матрица със същия размер като . се определя с уравнението :
подробно:
По подобен начин, дясното скаларно умножение на матрица със скаларен множител е
подробно:
Когато подстоящият пръстен е комутативен, например, реално или комплексното число поле, тези две умножения са еквивалентни, и се наричат скаларно умножение. За матрици в по-общ пръстен които не са комутативни, каквито са кватернионите, те може да не са равни.
При реален скаларен множител и матрица:
При скаларен множител кватернион и матрици:
където са кватернионите. Некомутативността на умножението на кватерниони не позволява прехода на към .
Произведение на матрици (две матрици) Да допуснем че две матрици ще бъдат умножени (по-долу се разглежда случай, сведен до каквото и да е число).
Обща дефиниция на матрично произведение
Ако е матрица и е матрица,
матричното произведение (обозначено без знаци за умножение или точки) представлява матрица
където всяка клетка се получава при умножаването на клетките (хоризонтален ред на ) по клетките (вертикална колона на ), за , и сумирането на резултатите в :
По този начин произведението се определя само ако броят на колоните в е равен на броя на редовете в , в този случай . Клетките могат да бъдат изчислявани една по една. Понякога, конвенцията за сумиране на Айнщайн се използва, за да се разбере сумата на повтарящия се индекс . За да се избегне двусмислие, конвенцията няма да бъде засегната в тази статия.
Обикновено клетките са цифри или изрази, но могат самите те да бъдат матрици (виж блок матрици). И в този случай матричното произведение пак се изчислява по същия начин. Може да се види подробно по-долу как матричното произведение може да бъде изчислено на базата на блокове, които приемат формата на редове и колони.
Илюстриране
Фигурата отдясно илюстрира чрез диаграма произведението на две матрици and , и показва как всеки отрязък в матричното произведение отговаря на ред от и колона от .
Стойностите на отрязъците обозначени с кръгове са:
Примери за произведение на матрици
Вектор ред и вектор колона Ако
техните матрични произведения са:
и
Обърнете внимание, че и са две различни матрици: първата е матрица докато втората е матрица. Такива изрази се срещат при реални стойности в Евклидови вектори в Декартова координатна системаи, представени като матрици с редове и колони, при което е матричната форма на тяхното скаларно произведение, докато е матричната форма на тяхното диадно или тензорно произведение.
Квадратна матрица и вектор колона Ако
матричното произведение е:
при което не е определено.
До произведението на квадратна матрица умножена по матрица от колона се достига естествено в линейната алгебра; за решаване на линейни уравнения и представянето им като линейни трансформации.
Квадратни матрици Ако
техните матрични произведения са:
и
В този случай, и двете произведения and са дефинирани, и клетките показват, че и по принцип не са равни.
Умножението на квадратни матрици, които представят линейни transformations отговаря на composite transformation (за детайли виж по-долу).
Вектор ред, квадратна матрица, и вектор колона Ако
тяхното матрично произведение е:
не е дефинирано. Обърнете внимание, че , това е едно от мнгото общи свойства, които са описани по-долу. Изрази като се срещат когато се изчислява вътрешното произведение на два вектора, представени като вектор ред и вектор колона в произволна координатна система, и метричен тензор в тези координати обозначени като квадратна матрица.
Четириъгълни матрици Ако
техните матрични произведения са:
и
Свойства на матричното произведение (две матрици) Подобно на числоа (елементи на поле), матриците отговарят на следните общи свойства general properties, въпреки че съществува една особеност, която се дължи на природата на умножението на матрици.
Всички матрици
Само квадратни матрици
Произведение на матрици (произволен брой) Умножението на матрици може да бъде разширено до случая, в който участват повече от две матрици, като всяка една двойка матрици трябва да удовлетворява предварителното условие за размерността.
Произведението на матрици с резмерности (където са положителни числа, като индексите съответстват на тези на матриците), матрицата с размерност :
Разписано с индекси:
Свойства на матричното произведение (произволен брой) Свойствата са в сила, докато редът на матриците не е променен. Някои от предишните свойства, валидни за две матрици, могат да бъдат обобщени както следва.
Операции, произлизащи от умножението на матрици Повечето операции върху квадратни матрици могат да бъдат дефинирани посредством умножението на матрици. Например степенуването и коренуването на матрица могат да бъдат представени чрез многократно прилагане на умножението на матрици, матричната експонента може да бъде дефинирана чрез степенни редове, матричния логаритъм е обратната операция на матричната експоненто и т.н.
Степенуване на матрица Квадратните матрици могат да бъдат умножени една с друга многократно по подобие на числата, защото те винаги запазват своя брой на редове и колони. Това многократно умножение може да се представи като степенуване на матрица, специален случай на умножението на матрици. От друга страна, правоъгълните матрици нямат същия брой на редове и колони и поради тази причина те никога не могат да бъдат повдигнати на степен. Матрица с размерност , повдигната на степен цяло число, се дефинира по следния начин
и следните свойства са в сила, където е скалар:
1. Нулева степен:
където I е единичната матрица. Това е съпоставимо с повдигането на степен нула на кое и да е число, което е равно на единица.
2. Умножение със скалар:
3. Детерминанта:
Наивният подход при степенуване на матрица е матрицата да се умножи пъти. Този метод б могъл да бъде оптимизиран чрез използване на алгоритъм за бързо пресмятане на степен – метод предимно използван за скалари. За матрици, които са подобни на диагоналните, още по-добър вариант е да се използва спектралната декомпозиция на . Друг метод, базиран на теоремата на Хамилтон-Кейли намира по-ефективно уравнение за , в което даден скалар се повдига на нужната степен отколкото цялата матрица.
Специален случай е степенуването на диагонална матрица. Понеже умножаването на диагонални матрици се състои просто в умножение на съответните диагонални елементи, диагоналната матрица на степен ще се състои от елементи, повдигнати на степента. По-подробно;
което означава, че степенуването на диагонална матрица е лесна операция. При степенуване на произволна матрица (не е нужно да бъде диагонална), в много случаи е полезно да се използва това свойство.
Приложения на умножението на матрици Линейни трансформации
Матриците предоставят сбит начин на представяне на линейни изображения между векторни пространства и умножението на матрици съответства на композицията на линейни изображения. Произведението на две матрици може да бъде дефинирано, когато елементите им принадлежат на същия пръстен пръстен и следователно може да бъде добавян и умножаван.
Нека , и са линейни пространства над едно и също поле с дадени базиси, и са линейни изображения и е тяхната композиция.
Да предположим, че , и са матриците, представящи изображенията , и спрямо дадените базиси.
Тогава матрицата , композицията (или произведението) на линейни изображения е произведението на техните матрици спрямо дадените базиси.
Система линейни уравнения Система линейни уравнения с еднакъв брой уравнения и неизвестни може да бъде решена чрез съставянето на матрица от коефициентите на уравненията.
Сходна процедура може да бъде използвана при решаването на линейни диференциални уравнения.
Векторно и диадно произведение
При дадени два вектор стълба и , скаларното произведение и диадното произведение са най-простите случаи на матрично произведение.
Скаларно произведение Скаларното произведение на два вектора в матричен вид е еквивалентно на вектор стълб, умножен от лявата си страна с вектор ред:
където е транспонираната матрица на a.
Матричното произведение може да се представи под форма на скаларно произведение. Да предположим, че матрицата A с размерност е представена чрез вектор редовете , а матрицата с размерност е представена чрез вектор стълбовете :
където
Тогава:
Също така е възможно дадено матрично произведение да се изрази под формата на произведение на матрици и вектор ред или стълб.:
Тези преобразувания са особено полезни за матрици, които са представени като конкатенации на различни типове вектор редове или вектор колони. Например ортогоналните матрици (чиито редове са ортогонални един на друг) и матриците на Марков (при които сумата от редовете или колоните е равна на единица).
Диадно произведение Диадното произведение (също познато като тензорно произведение) на два вектора в матричен вид е еквивалентно на вектор ред, умножен от ляво с вектор стълб: