Косинусовата теорема в геометрията гласи:
Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.
Разглежда се триъгълник със страни , и (фиг. 1).
Тогава е в сила равенството
Тук, с се означава ъгълът, заключен между и . За страните и косинусовата теорема изглежда така:
Оттук лесно могат да се изразят и косинусите на дадените ъгли:
.
Когато един от ъглите на триъгълник е прав, косинусовата теорема се свежда до Питагоровата теорема.
Доказателства Доказателство с Питагорова теорема Нека да разгледаме триъгълника . От върха към страната е спусната височината (фиг. 2). От триъгълника следва:
,
Питагоровата теорема за двата триъгълника и се записва във вида .
Очевидно, десните части на двете уравнения са равни, т.е. .
След опростяване се получава .
Доказателство с вектори Въвеждат се базисните вектори и .
Нека . По правилото за изваждане на вектори се получава:
След повдигане на квадрат се достига до равенството
От формулата за скаларно произведение на два вектора става ясно, че
С това теоремата е доказана.
Вижте също Триъгълник Тригонометрична функция Триангулация Синусова теорема Тангенсова теорема Котангенсова теорема
Категория:Тригонометрия Категория:Теореми