Лоренцови трансформации във физиката представляват координатни трансформации между две координатни системи, които се движат с постоянна скорост една спрямо друга.

Отправните системи могат да се разделят в две групи: инерционни (относително движение с постоянна скорост) и неинерционни (ускоряващи по криви пътища, ротационно движение с постоянна ъглова скорост). Понятието „Лоренцови трансформации“ се отнася само за трансформации между инерционни отправни системи, обикновено в контекста на специалната теория на относителността.

Във всяка отправна система наблюдател може да използва локална координатна система (най-често декартова), за да измерва разстояние, и часовник за да измерва времевите интервали. Наблюдател е истински или въображаем обект, който може да прави измервания (например човек). Събитие е нещо, което се случва в точка от пространството в даден момент или по-точно точка в пространство-времето. Трансформациите свързват пространствените и времевите координати на дадено събитие, измерено от наблюдател във всяка отправна система.

Те заместват Галилеевите трансформации от класическата механика, които допускат абсолютно пространство и време. Галилеевите трансформации са добро приближение само при относителни скорости, които са много по-малки от скоростта на светлината. Лоренцовите трансформации имат брой неинтуитивни особености, които не присъстват в Галилеевите трансформации. Например, те отчитат факта, че наблюдателите, движещи се с различни скорости, могат да измерят различни разстояния, изтекли времена и дори различна подредба на събитията, но в същото време скоростта на светлината остава инвариантна във всички инерционни отправни системи. Постоянството на скоростта на светлината е един от постулатите на специалната теория на относителността.

В исторически план, трансформациите са резултат от опитите на холандския физик Хендрик Лоренц (чието име носят) и други да обяснят как скоростта на светлината се е наблюдавала да е независима от отправната система и за да се разберат симетриите на законите на електромагнетизма. Лоренцовите трансформации са в съответствие на специалната относителност, но са изведени преди нея.

Лоренцовите трансформации са линейни. Могат да включват ротация на пространството. В пространството на Минковски, математическия модел на пространство-времето в специалната относителност, трансформациите на Лоренц запазват пространство-времевия интервал между кои да е две събития. Това свойство е определящо за Лоренцовите трансформации. Те описват само трансформациите, при които първоначалното събитие в ппространство-времето е фиксирано. Могат да бъдат разглеждани като хиперболична ротация на пространството на Минковски. По-общ набор от трансформации, който включва и транслации, е групата на Поанкаре.

История Много физици дискутират физиката, скрита зад тези уравнения след 1887 г. В началото на 1889 г. Оливър Хевисайд показва от уравненията на Максуел, че електричното поле, заобикалящо сферичен заряд, следва да спре да има сферична симетрия, веднъж щом зарядът се намира в движение спрямо етера. След това Джордж Фицджералд предполага, че деформацията на Хевисайд може да бъде приложена в теория за междумолекулни сили. Няколко месеца след това Фицджералд публикува предположението, че телата в движение се свиват, за да обясни загадъчния изход на експеримента на Майкелсън и Морли от 1887 г. През 1892 г. Лоренц независимо представя същата идея по по-подробен начин, която впоследствие бива наречена Лоренцово съкращение. Това обяснение става широко известно преди 1905 г.

Лоренц и Джоузеф Лармор, които вярват в хипотезата за етера, също търсят трансформацията, чрез която уравненията на Максуел са инвариантни, когато се трансформират от етера към движеща се система. Те разширяват хипотезата за Лоренцовото съкращение и откриват, че времевите координати също трябва да бъдат модифицирани. Анри Поанкаре дава физическа интерпретация на локалното време (до първи ред) като последствие от синхронизацията на часовниците, с допускане че скоростта на светлината е константна в движещи се системи. Лармор се счита за първия, разбрал критичното свойство на релативистичното забавяне на времето, присъщо на уравненията му.

През 1905 г. Поанкаре става първият, който показва, че трансформацията има свойствата на математическа група и я наименува в чест на Лоренц. По-късно през същата година Алберт Айнщайн публикува специалната теория на относителността, като я извежда от Лоренцовите трансформации, имайки предвид принципа на относителността и константността на скоростта на светилната в коя да е инерционна отправна система и изоставяйски хипотезата за етера.

Извеждане на групата Лоренцови трансформации Във всяка инерционна система едно събитие се характеризира с координата за време ct и ред Декартови координати , определящи пространственото положение в дадената система. Индексите обозначават отделни събития.

От втория постулат на относителността на Айнщайн следва:

(D1):

във всички инерционни системи за събития, свързани чрез светлинни сигнали. Количеството отляво се нарича пространство-времеви интервал между събития и . Интервалът между всеки две събития, незадължително отделени от светлинни сигнали, е инвариантен, т.е. независим от състоянието на относително движение на наблюдатели в различни инерционни системи. Следователно търсената трансформация трябва да притежава такова свойство, че eq (D2):

където са пространство-времеви координати, използвани за да се определят събитията в една система, а са координатите в друга система. Първоначално се наблюдава, че (D2) се удовлетворява, ако произволен кортеж с дължина 4 цифри се добавят към събитията и . Такива трансформации се наричат „пространство-времеви транслации“. След това се наблюдава, че линейно решение, запазило произхода на по-простата задача:

(D3):

също решава и общата задача. Решение, удовлетворяващо лявата формула автоматично удовлетворява и дясната формула. Намирането на решение за по-лесната задача е въпрос на търсене в теорията на класическите групи, които запазват билинейни форми. Уравнението (D3) може да бъде изписано по-сбито така:

(D4):

където се отнася за билинейната форма на от , открита от дясната формула в уравнение (D3). Алтернативната нотация, определена отдясно се нарича релативистичен продукт. Пространство-времето, математически погледнато като , надарено с тази билинейна форма, е познато още и като пространство на Минковски . Лоренцовата трансформация е елемент на Лоренцовата група . Имаме:

(D5):

което е точно запазване на билинейната форма от (D3), което предполага (по линейност на и билинейност на формата), че (D2) е удовлетворено. Елементите на Лоренцовата група са ротации и тласъци, както и смесици от двете. Ако се включат и пространство-времевите транслации, тогава ще получим нехомогенна Лоренцова група или групата на Поанкаре.

Общи сведения

Зависимостите между основните и вторичните пространство-времеви координати са Лоренцовите трансформации. Всяка координата в една система е линейна функция на всички координати в другата система, а обратните функции са обратните трансформации. В зависимост от това как системите се движат една спрямо друга и как са позиционирани в пространството една спрямо друга, други параметри, описващи посока, скорост и позициониране влизат в уравненията на трансформациите.

Трансформации, описващи относително движение с постоянна скорост и без ротация на координатите на пространствените оси се наричат тласъци, а относителната скорост между системите е параметърът на трансформацията. Другият основен тип трансформации на Лоренц са единствено ротации на пространствените координати. Това също са инерционни системи, тъй като няма относително движение, а системите са просто наклонени (не се въртят постоянно). В този случай, числата, определящи ротацията са параметри на трансформацията. Комбинация от ротация и тласък е хомогенна трансформация.

Пълната група на Лоренц съдържа и специални трансформации, които не са нито ротации, нито тласъци, а по-скоро отражения върху равнина. Две от тях могат да бъдат отделени: пространствена инверсия, при която пространствените координати на всички събития приемат обратен знак, и времева инверсия, при която времевата координата за всяко събитие приема обратен знак.

Тласъците не бива да се смесват просто с премествания в пространство-времето – в такъв случай координатните системи просто се преместват и няма относително движение. Все пак, на това може да се гледа като на симетрии, които са принудени от специалната относителност, тъй като оставят пространство-времевия интервал инвариантен. Комбинация от ротация и тласък, последвана от изместване в пространство-времето, е нехомогенна Лоренцова трансформация, елемент от групата на Поанкаре.

Физична формулировка на Лоренцовите тласъци Трансформация на координатите

Неподвижен наблюдател в системата определя събития с координати . Друга система се движи със скорост спрямо , а наблюдател в тази движеща се система определя събития с координати .

Координатните оси във всяка система са паралелни ( и , и и и ) и взаимно перпендикулярни, а относителното движение е по съвпадащите оси . При , центърът на двете координатни системи е един и същ, . С други думи, времената и местоположенията съвпадат при това събитие. Ако всичко това важи, тогава координатните системи са в стандартна конфигурация или синхронизирани.

Ако наблюдател в измери събитие , тогава наблюдател в измерва същото събитие с координати

където е относителната скорост между системите в направление , е скоростта на светлината, а

е факторът на Лоренц.

Тук е параметърът на трансформацията; за даден тласък той е константа, но може да приема непрекъснат диапазон от стойности. В конкретния случай, положителната относителна скорост е движение в положителното направление на осите , нулевата относителна скорост представлява липса на относително движение, а отрицателната относителна скорост е относително движение в отрицателното направление на осите . Големината на относителната скорост не може да е равна или по-голяма от , тоест само субсветлинни скорости са позволени. Съответстващата област за е .

Трансформациите са неопределени, ако е извън тези граници. При скоростта на светлината () е безкраен, а свръхсветлинен () е комплексно число, следователно и двете не биха имали физичен смисъл. Пространствените и времевите координати са измерими количества и трябва да бъдат реални числа.

Наблюдател в F′ вижда координатите на събитието все едно са „изтласкани“ в отрицателното направление на осите , поради в трансформациите. Това има еквивалентния ефект на координатната система F′, изтласкана в положителното направление на осите , докато събитието не се променя и единствено се представя в друга координатна система.

Обратните зависимости ( по отношение на ) могат да бъдат намерени чрез алгебрично пресмятане на първоначалния набор от уравнения. По-ефективен начин е да се използват физични принципи. В този случай е неподвижната система, докато е движещата се система. Според закона за относителността, няма предпочитана отправна система, така че трансформациите от към трябва да имат една и съща форма, както и трансформациите от към . Единствената разлика е, че се движи със скорост спрямо (тоест относителната скорост е с еднаква големина, но с обратна посока). Следователно, ако наблюдател в отбележи събитието , тогава наблюдател в би отбелязал същото събитие с координати

и стойността на остава непроменена. Този „трик“ на просто обръщане на посоката на относителната скорост, запазвайки големината ѝ и разменяйки основните и вторичните променливи, винаги важи за намиране на обратната трансформация за всеки тласък във всяко направление.

Понякога е по-удобно да се използва вместо , така че

което показва доста по-ясно симетрията на трансформацията. От позволената област за и определението за следва, че . Използването на и е стандартно.