Окръжност на Ойлер

Окръжността на Ойлер или окръжността на деветте точки е окръжност, която минава през девет характерни точки за всеки триъгълник, от които по-съществени са средите на трите страни и петите на височините на триъгълника. Открита е от швейцарския математик Леонард Ойлер. Известна е и като окръжност на Фойербах, който открива част от свойствата ѝ.

Основно свойство

Окръжността на Ойлер минава през следните девет точки: петите на височините на триъгълника, средите на страните, средите на отсечките с краища върховете на триъгълника и ортоцентъра му (съгласно Теоремата на Фойербах).Nine-Point Circle, Wolfram Mathematics

Центърът на окръжността на Ойлер е средата на отсечката с краища ортоцентъра и центъра на описаната окръжност. Радиусът на окръжността на Ойлер е половината от радиуса на описаната окръжност.

Доказателство Нека точките D, E и F са средите съответно на BC, AC и AB; точките G, H и I са петите на височините съответно от A, B и C; J, K и L са съответно средите на AS, BS и CS, където S е ортоцентърът, O е центърът на описаната окръжност.

Нека опишем окръжност около ΔDEF. Ще докажем, че останалите точки лежат да тази окръжност, а след това, че центърът ѝ е средата на отсечката SO.

DF – средна отсечка => DF||AC, DE – средна отсечка => DE||AB; => AEDF – успоредник. ΔAIC – правоъгълен => IE = AE = CE

От друга страна AE = DF, => IE = FD, => IFDE – равнобедрен трапец => около него може да се опише окръжност.

Аналогично можем да докажем, че всички пети на височините лежат на описаната около ΔDEF окръжност.

Следващата стъпка е да докажем, че J, K и L също лежат на описаната около ΔDEF окръжност.

JF – средна отсечка в ΔABS => JF||BH

Освен това FD – средна отсечка в ΔABC => FD||AC

> ∠(JF;DF) = ∠(BH;AC) 90⁰

∠JGD = 90⁰ => JD се вижда от F и от G под 90° => J ∈ описаната около ΔDFG окръжност т.е. на „заформящата се“ окръжност на Ойлер.

Аналогично можем да докажем, че K и L също лежат на тази окръжност.

Остава само да докажем, че центърът на тази окръжност е средата на SО.

Нека симетралите на IF и GD пресичат IF и GD съответно в точките X и Y.

OD и OF са радиуси, перпендикулярни на хордите => OD||SG и OF||SI => IFOS и ODGS са трапеци.

Симетралите на IF и GD са перпендикулярни и разполовяват съответно IF и GD => и двете минават през т. O1 (средата на OS).

XO1- средна отсечка в трапеца IFOS => O1 – среда на OS.

J е среда на AS, а O1 e среда на OS => JO1 е средна отсечка в ΔASO, т.е. JO1 = AO/2, където JO1 е радиусът на Ойлеровата окръжност, а AO – на описаната окръжност.

Други свойства

Центърът на окръжността на Ойлер лежи на Ойлеровата права. Окръжността на Ойлер се допира до вписаната окръжност и до трите външно вписани окръжности на триъгълника.„Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х, стр. 168

Източници

Категория:Геометрия на триъгълника