Тригонометрична функция

Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като: отношение на две страни на правоъгълен триъгълник; координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център – началото на координатната система).

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като: решения на някои диференциални уравнения; безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълник

Разглежда се правоъгълен триъгълник в евклидовата равнина (фиг. 1), поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на 180° (π радиана). Следователно ° или .

Дефиниции Синус на ъгъл е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата: .

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл , тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл са подобни.

Косинус на ъгъл е отношението на прилежащия катет към хипотенузата: .

Тангенс на ъгъл е отношението на срещулежащия катет към прилежащия: .

Котангенс на ъгъл е отношението на прилежащия катет към срещулежащия: .

Секанс на ъгъл е отношението на хипотенузата към прилежащия катет: .

Косеканс на ъгъл е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет: .

Тригонометричните функции, дефинирани чрез единична окръжност Определянето на тригонометричните функции чрез единична окръжност е частен случай на дефинициите чрез правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на единица. Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и оси OE и OF. Разглежда се окръжност с център точка О и радиус, равен на единица. Построява се произволен радиус ОА, който сключва ъгъл с абсцисната ос OE (фиг. 2).

От правоъгълния триъгълник OCA ,

тъй като дължината на радиуса ОА е равна на 1. Оттук следва определението:

Синус на даден ъгъл , отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата АC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност: .

По същия начин се получават определенията и за другите тригонометрични функции:

Косинус на даден ъгъл , отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност: .

Тангенс на даден ъгъл , отчетен от абсцисната ос, се нарича отношението на ординатата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната абсциса: , .

Котангенс на даден ъгъл , отчетен от абсцисната ос, е отношението на абсцисата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната ордината: , .

Дефинициите на функциите „секанс“ и „косеканс“ се формулират малко по-сложно.

Секанс на даден ъгъл , отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OE на пресечната точка E на абсцисната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността: , .

Косеканс на даден ъгъл , отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата OF на пресечната точка F на ординатната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността: , .

В допълнение към шестте изброени съотношения, има допълнителни тригонометрични функции, които са били исторически важни, макар и рядко използвани днес (фиг. 3):

хорда – ; версинус, версин или синус версус – , или :

(появява се в най-ранните таблици); веркосинус или косинус версус – или : ; хаверсинус – или :

хаверкосинус – или : ; екссеканс – ; екскосеканс – .

Свойства Свойства на функцията синус

Дефиниционна област (допустими стойности на аргумента, за които функцията е определена) – множеството на всички реални числа: . Множество на стойностите на функцията – областта[−1; 1]: [−1;1]. Функцията е нечетна: . Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на : . Графиката на функцията пресича оста Ох при . Области с постоянен знак: при и при . Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: Функцията е растяща при , и намаляваща при . Функцията има минимум при и максимум при .

Свойства на функцията косинус

Дефиниционна област (област на определяне) – множеството на всички реални числа: . Множество на стойностите – областта [−1; 1]: = [−1;1]. Функцията е четна: . Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на : . Графиката на функцията пресича оста Ох при . Области с постоянен знак: при и при . Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: Функцията е растяща при и е намаляваща при . Функцията има минимум при и максимум при .

Свойства на функцията тангенс

Област на определяне на функцията – множеството от всички реални числа: , освен числата . Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: . Функцията е нечетна: . Функцията е периодична. Най-малкият положителен период е равен на : . Графиката на функцията пресича оста Ох при . Области с постоянен знак: при и при . Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: Функция расте при .

Свойства на функцията котангенс

Област на определяне на функцията – множеството на всички реални числа: освен числата Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: . Функцията е нечетна: . Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на : . Графиката на функцията пресича оста Ох при . Области с постоянен знак: при и при . Функцията е непрекъсната и има производни при всяка стойност на аргумента: Функцията намалява при .

Обобщени свойства Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс – нечетни, т.е. , ,

, .

За остри ъгли

, ,

, ,

, ,

, .

За ъгли е изпълнено

, ,

, ,

,

,

,

.

Знакът на функциите sin, cos, sec и cosес се променя през интервали от 180°, а на tg и cotg – през 90°.

за или für или

за oder за или

за или за или

за или за или

за или за или

за или за или

Таблицата показва знаците на тригонометричните функции в зависимост от квадранта: Квадрант sin и csc cos и sec tan и cot I + + + II + − − III − − + IV − + − В следващата таблицата са дадени най-основните свойства на тригонометричните функции. Функция Означения Изразяване чрез основна връзка Дефиниционна област Област на стойностите Синус [–1; 1] Косинус [–1; 1] Тангенс или без , Котангенс , или без ,

Връзки между функциите

Тъждества се наричат равенства, изпълнени за всички допустими стойности на променливите в тях. Стандартните тъждества на връзките между функциите са:

От правоъгълния триъгълник ABC (фиг. 1) съгласно теоремата на Питагор ,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то .

В следващата таблица са дадени всички връзки между тригонометричните функции. Всяка от функциите е изразена чрез всяка от другите пет. sin cos tan cot sec csc sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x) При използване на формулите трябва да се имат предвид, че знакът определя две стойности.

Тригонометричните функции като редове Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър се представят синусът и косинусът като степенни редове:

,

.

Ползвайки тези формули, а също и равенствата и може да се разложат в ред и другите тригонометрични функции:

където са числа на Бернули, са числа на Ойлер.

Косинусът като скаларно произведение Във векторната геометрия косинусът се определя от скаларното произведение на два вектора u и v и техните норми ||u|| и ||v||: .

Пресмятане на тригонометрични функции Тригонометричните функции са включени в едни от най-рано използваните математически таблици. Тези таблици са част от справочниците по математика и студентите по различни инженерни дисциплини в миналото са обучавани да ги използват при изчислителните задачи и проекти.

Днес тригонометричните функции (sin, cos, tan, cot, sec, csc) се пресмятат с калкулатори от по-високо ниво. Повечето позволяват избора на измервателната единица за ъгъл: DEG, RAD, GRAD. При съвременните компютри съществуват голям брой програми, които осигуряват изключително точни и пълни изчисления.

Стойности на тригонометрични функции за някои ъгли

Стойностите на синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс за някои ъгли са дадени в таблиците. („“ означава, че функцията в указаната точка не е дефинирана, но клони към безкрайност в нейната близост). Основни стойности Радиани Градуси

Стойности на тригонометрични функции за нестандартни ъгли Радиани Градуси

Радиани Градуси

Вижте също Тригонометрия Списък с интеграли на тригонометрични функции Обратни тригонометрични функции Аркуссинус

Литература Lars Ahlfors. Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, segona edició, McGraw-Hill Book Company, Nova York, 1966. Abramowitz, Milton; Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, Nova York. (1964). ISBN 0-486-61272-4. Boyer, Carl B. – A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., segona edició. (1991). ISBN 0-471-54397-7. Joseph, George G. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, segona edició Penguin Books, Londres. (2000). ISBN 0-691-00659-8. Kantabutra, Vitit. "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996). Maor, Eli. Trigonometric Delights Arxivat 2006-04-14 a Wayback Machine., Princeton Univ. Press. (1998). Reimpressió (25 febrer de 2002): ISBN 0-691-09541-8. Needham, Tristan. "Preface" Arxivat 2004-06-02 a Wayback Machine." a Visual Complex Analysis Arxivat 2008-06-07 a Wayback Machine.. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9. O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. "Trigonometric functions" Arxivat 2013-01-20 a Wayback Machine., Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (1996). O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. "Madhava of Sangamagramma", Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (2000). Pearce, Ian G. "Madhava of Sangamagramma" Arxivat 2006-05-05 a Wayback Machine.. Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (2002). Weisstein, Eric W. "Tangent" a MathWorld, accés el 21 de gener de 2006.

Източници

Категория:Тригонометрия Категория:Математически функции