Импликация (също „кондиционал“ или „субюнкция“) или по-точно материална импликация се нарича в логиката както едно сложно изречение, възникнало от свързването на две изречения чрез съюзната връзка „ако – то“ (при което въведеното с „ако“ условно подизречение се нарича „антецедент“, а следващото частицата „то“ подизречение – „консеквент“), така и самата съюзна връзка „ако – то“, разбирана в смисъла на логическа частица или логически оператор, който създава следната истинностно-функционална зависимост: едно импликативно изречение е неистинно (има стойност по истинност Н), когато антецедентът е истинен, а консеквентът – неистинен, и истинно (има стойност по истинност И) във всички останали случаи.Терминът 'кондиционал' е въведен от Куайн в англоезичната логическа литература, а терминът 'субюнкция' от Лоренцен в немскоезичната, защото и двамата смятат Ръселовия термин 'импликация' за подвеждащ, тъй като той създава впечатление, че тук става дума за 'следване', т.е. за 'логическо имплициране' (срв. рубриката логическа импликация). Ето защо и двама се връщат към Фреге, като Куайн се ориентира към неговия термин 'Bedingtheit' ('обусловеност'), а Лоренцен към символното изображение, с което Фреге предава условните твърдения, а именно към своеобразието, че във Фрегевата двуизмерна логическа нотация условието (основанието) В за едно твърдение А се записва 'под' него: (оттук и 'суб-юнкция'). За да се различават ипликацията в смисъла на специфичен вид сложно изречение и импликацията в смисъла на логически оператор, някои автори, които използват думата „субюнкция“, запазват тази дума само за сложното изречение и наричат оператора „субюнктор“.
Символният израз на субюнктора е знакът . В по-старите книги по логика се използва и Пеано-Ръселовият символ .Знакът има произхода си най-вероятно в буквите, които Жосеф Жергон (1771 – 1859) въвежда за обозначаване на своите кръгови логически диаграми, където, след като „C“ в C, с което се казва, че класът е съдържан в класа („C“ от „contenue“ [съдържан]), символизира релацията „е подмножество на“, обърнатото „C“ в Ɔ, с което се казва, че класът съдържа класа („Ɔ“ от „contenante“ [съдържащ]), символизира конверзната релация „включва (като подмножество)“. На свой ред знакът е въведен от Хилберт и Акерман през 1928 г. в книгата им Grundzüge der theoretischen Logik.
Обяснение Условията за истинност на една импликация между изреченията и могат да се посочат чрез следната таблица: аргументифункцияИИИИНННИИННИ Където колонките под и показват във всеки ред съответното разпределение на техните стойности по истинност, а колонката под показва във всеки ред каква е стойността по истинност на за съответното разпределение на стойностите по истинност на и . За една двуместна функция от стойности по истинност, каквато е импликацията, са възможни четири комбинации на стойностите по истинност на аргументите и (два аргумента и по две стойности И и Н дават четири комбинации: 22 = 4). Затова и получава стойност по истинност в четири случая.
Пример за импликативно изречение е: „Ако Слънцето не е изгряло, то небето е облачно“ (изразено със субюнктора: „Слънцето не е изгряло небето е облачно“) с подизречения „Слънцето не е изгряло“ (антецедент) и „небето е облачно“ (консеквент).
Заключенията, които се получават въз основа на значението на сентенциалната връзка „(материална) импликация“, се изследват в пропозиционалната логика. е логическа константа в езика на пропозиционалната логика. Други основополагащи константи на пропозиционалната логика са конюнкциятата и дизюнкцията .
Смисълът на импликацията може да се предаде по следния начин. Който твърди , се ангажира с истинността на при условие, че е истинно. Той прави едно условно твърдение: при условие, че . Той твърди, че описаното от положение на нещата ще бъде факт, ако е изпълнено условието, формулирано от . Ето защо, ако това условие не е изпълнено, импликативното твърдение ще оставя открит въпроса как стоят нещата с , т.е. ако антецедентът е неистинен, за истинността на цялата импликация няма да има значение каква би била стойността по истинност на консеквента , а това означава: тя няма да бъде неистинна. Ние можем да кажем това така:
(А) импликацията ще бъде истинна, стига антецедентът да бъде неистинен.
От друга страна, тъй като описаното от антецедента положение на нещата се полага чрез импликацията само като достатъчно, но не и като необходимо условие за наличността на описаното от консеквента положение на нещата, т.е. който твърди , не представя като единственото възможно условие за (за да постигне това, той трябва да употреби не думите „ако “, а „само ако “ (вж. по-долу за достатъчното и необходимото условие), и съотв. оставя открит въпроса дали би могло да има и други причини за съществуването на описаното от положение на нещата, то ако подизречението е истинно, няма да има значение как стоят нещата с истинността на подизречението (в този случай, ако е истинно, това ще потвърждава твърдението, че не и без ; ако е неистинно, тази ситуация няма да е несъвместима с претенцията за истинност на цялото , че истинността на e достатъчно условие за истинността на ). Ние можем да кажем това така:
(В) импликацията ще бъде истинна, стига консеквентът да бъде истинен.
(А) и (В) показват, както се вижда и от таблицата за истинност на , че една импликация е неистинна в един-единствен случай (от четирите възможни случаи на комбинации на стойностите по истинност на нейните подизречения), а именно когато консеквентът е истинен (условието е изпълнено), а антецедентът – неистинен (това, което твърдим по условен начин, не е факт). Ние можем да предадем този смисъл и като кажем така: импликативното твърдение изключва случая, в който антецедентът е истинен, а консеквентът – неистинен. Със символи бихме могли да изразим това като еквивалентност на импликацията и следното изречение, образувано с помощта на конюнкция и отрицание:
Смисълът на може да бъде предаден и чрез отрицание и дизюнкция. Напр. твърдението „Ако Слънцето е изгряло, то небето е облачно“ има същия смисъл като твърдението „Слънцето не е изгряло или небето е облачно“. Символно можем да изразим това по следния начин:
.
Първият логик, който обяснява смисъла (условията за истинност) на изречения с формата „ако – то“ по този начин, е бил вероятно античният философ Филон от Мегара (IV – III век пр. Хр.). Същата идея лежи и в истинностно-функционалното дефиниране на кондиционала при Фреге, което е част от неговата интерпретация на пропозиционалната логика като теория за истинностните функции (за онези функции, които дават за стойности по истинност като аргументи, стойности по истинност като стойности за тези аргументи) – теория, която представя най-простата и основополагаща дисциплина на модерната логика. В този смисъл не само импликацията може да се дефинира чрез отрицание и конюнкция или дизюнкция, но и смисълът на и може да се предаде чрез и :
и
.
Интерпретацията на „ако – то“ в смисъла на съответства само на част от смислите, за чийто израз ние можем да употребяваме думите „ако – то“ в естествения език. Логиката държи сметка за тези други смисли, като различава кондиционала (материалната импликация) от логическото следване (логическата импликация) и формалната импликация (подчинението на понятия), за които въвежда други изразни средства.
Недоразумения относно кондиционала Всичко казано дотук показва, че примери за истинни – от 'логическа гледна точка' – импликации от типа на:
(α) Ако Земята е футболна топка, то София е на Луната,Е. Латинов, Символна логика със задачи. София: Изток-Запад, 2010, с. 18
които имат неистинни антецеденти, не държат сметка за смисъла на импликацията в ролята ѝ на кондиционално твърдение. Който твърди (α) в смисъла на , казва: аз се ангажирам с (това да дам основания за) истинността на консеквента на (α), ако условието, което бива формулирано от антецедента на (α), е изпълнено. Следователно, за да оспори (α), един опонент трябва да докаже първо, че антецедентът на (α) е истинен. Едва тогава твърдящият (α) ще е длъжен да докаже консеквента на (α). Ако не е в състояние да направи това, той ще е казал с (α) една неистина. Има ли следи от подобна езикова игра при твърденето на (α)? Кой би твърдял (α)? Някой, който смята, че истината на антецедента на (α) е достатъчно условие за истината на консеквента на (α). Такъв ли е случаят? Можем ли да допуснем, че някой би искал да твърди сериозно, че София е на Луната, ако е изпълнено условието, че Земята е футболна топка? Колкото и да е абсурдно това, нека го приемем. Ако сега опонентът не може да докаже, че Земята е футболна топка, диалогът ще прекъсне, защото тук ще става дума за едно неизпълнено условие и от този момент нататък повече няма да има значение как стоят нещата с описаното от консеквента положение на нещата. Хора, които не разбират от логика, отиват обаче една крачка по-нататък и казват: това, че логиците твърдят, че импликацията (α) изразява една истина, означава, че според формалната логика консеквентът на (α) 'следва' от антецедента на (α) и по-общо, че от една неистина 'следва всичко', както в случая напр. това, че София е на Луната. Който казва нещо подобно, не прави разлика между импликацията в смисъла на едно кондиционално твърдение и импликацията в смисъла на логическо следване. Истинността на (α) не трябва да се обърква с валидността на един 'преход' от антецедента на (α) към консеквента на (α), т.е. с едно заключение. Дори формалният логик, който смята (α) за истинно, не смята, че оттук следва, че София е на Луната. Според него - ако той употребява (α), така да се каже, реторически - (α) е истинно тъкмо защото това, че София е на Луната, не е факт (а ако не употребява (α) реторически, той би казал, че истинността на (α) се получава единствено от неизпълнеността на формулираното от антецедента условие, така че ние не можем да кажем нищо по отношение на истинността или неистинността на консеквента). (α) е едно кондиционално твърдение. В този случай ние знаем: ако опонентът не може да докаже неговия антецедент (ако антецедентът е неистинен), то по-нататък изобщо няма да има смисъл да се води дебат относно това дали консеквентът е истинен или не. Но именно това подсказва, че (α) не е адекватен пример за кондиционал. Нека, за да видим това, разгледаме и:
(β) Ако Земята е кръгла, то София е столица на България.
Има ли смисъл да се твърди това? След като опонентът докаже, че е истинно, че Земята е кръгла, този, който твърди (β), ще трябва да докаже, че е истина, че София е столица на България. Има ли обаче смисъл да се прави това? Тъй като положенията на нещата, които биват описвани от двете подизречения в (β), са напълно независими едно от друго, не е ясно какъв е смисълът първото да се представя като условие за наличността на второто. В този случай вместо да се използва кондиционалът , много по-адекватно би било да се употреби конюнкторът и да се каже:
(γ) Земята е кръгла и София е столица на България.
(γ) също е едно истинно комплексно изречение. Фактите в света правят истинни както (β), така и (γ). Това обаче не означава, че техният смисъл е еднакъв. От това, че определени факти правят една импликация, напр. (β), истинна, не следва, че тя е подходящият израз, за да се опише дадена ситуация. Знакът (и съотв. изразното средство „ако – то“) е един инструмент, с чиято помощ може да се направи едно кондиционално твърдение. По същия начин дизюнкторът (и съотв. изразното средство „или“) е един инструмент, с чиято помощ може да се утвърди една алтернатива (в смисъла на „поне едно от... е факт“). Следва ли оттук, че има смисъл да използваме за свързването на произволни изречения само затова, защото получаващите се от това свързване комплексни изречения са истинни?
(δ) Земята е кръгла или София е столица на България.