Интерполация в числовия анализ е метод на конструиране на нови числови стойности в област от множество на изолирани точки от известни числови стойности.
В инженерните и други науки може да са налице брой от числови стойности, които са придобити чрез проби или експеримент и да е необходимо да се създаде функция, която много близко да покрива тези стойности. Това се нарича създаване на крива или регресивен анализ. Така че интерполацията е специфичен случай на създаване на крива, при който функцията трябва да мине точно през дадените числови стойности.
Друг вид задача, която се решава с интерполация е апроксимацията (приближаването) на сложна функция до проста функция. Например може да имаме фунция, която е твърде сложна, за да се оцени ефикасно. В този случай може да се изберат някои точки за създаване на таблица и след това от тях да се състави по-опростена функция.
Има и друг вид интерполация в математиката – „интерполация на оператори“ като класически резултат от интерполация на оператори са Теорема на Рисц-Торин and the Теорема на Маркинкиевиц, както и много други подрезултати.
С други думи е метод, при който функция, зададена таблично (чрез стойностите в отделни точки), се замества с аналитична функция y=f(x), така че стойностите на функцията f(x) във възлите на интерполиране да бъдат равни на съответните таблични стойности на наблюденията. В геометричен смисъл графиката на f(x) минава през точките на интерполиране в координатната равнина. Според вида на функцията f(x) в участъците между възлите, интерполацията може да бъде линейна, параболична, билинейна, бикубична и други, в зависимост от избраната функция за интерполиране.
Линейна интерполация Нека функцията, която ще интерполираме, се нарича f(x). Отсечката от тази функция [X0; X1] се заменя с линейна функция, стойностите на която при X=X0 и X=X1 съвпадат със стойностите на дадената функция f(X0) и f(X1). Тоест в отрязъка [X0;X1] имаме два възела на интерполация X0 и X1, а интерполационният многочлен е от първа степен. Означаваме f(X0)=Y0, f(X1)=Y1, f(X)=Y. Интерполиращата линейна функция се намира, като се напише уравнението на права, минаваща през две точки (X0,Y0) и (X1,Y1):
(Лагранж)
което може да се представи също
Полиномна интерполация Полиномната интерполация е обобщение на линейната интерполация; като приближение се използва полином от по-висока степен.
Приложение в икономиката Методът се използва в икономиката при решаването на някои оптимизационни задачи, например намирането на вътрешната норма на възвръщаемост на инвестиция.
Пример: Фирма има възможност да избира между два варианта за инвестиции:
Първоначален инвестиционен разход – 20 млн. лева, очаквани нетни парични потоци 4 млн. лева годишно в продължение на четири години. Начална инвестиция – 15 млн. лева, нетни парични потоци по 3,8 млн. лева годишно през следващите пет години.
Кой от двата варианта е по-изгоден за фирмата?
Необходими формули:
– вътрешна норма на възвръщаемост
– нетна настояща стойност
– очаквани приходи
– първоначална инвестиция
– търсената дискантова ставка, която привежда към нула
Обработка на изображения Интерполацията е основен метод за увеличение при цифрови изображения. Стойностите на яркостта на всеки пиксел са дискретните стойности, които служат за интерполационни възли.
Литература И.И. Поляк, „Численные методы анализа наблюдений“
Вижте също Екстраполация Метод на крайните елементи