Eкстремум ( – „краен“) в математиката е максималната или минималната стойност на функцията в дадено множество. Тази точка може да е бъде както локален екстремум, така и глобален екстремум.
Определение Ако е дадена функцията , за която , тогава:
се нарича точка на локален максимум на функцията ако съществува прекъсната част такава, че
се нарича точка на локален минимум на функцията ако съществува прекъсната част такава, че
Определение за локален екстремум Ако дефиниционното множество на една функция е интервал, обикновено той може да се раздели на подинтервали, във всеки от който функцията е растяща или намаляваща. Сега да разгледаме поведението на функцията в точка, разделяща два съседни интервала, в които тя от растяща става намаляваща и обратното. В първия подинтервал на снимката функцията намалява, в следващия расте и т.н. Точките, където функцията от растяща става намаляваща и обратното са екстремуми. В достатъчно малка околност на тези точки няма други стойности на функцията, които да са съответно по-малки (по-големи, в когато става въпрос за максимум, а не за минимум) от стойността на функцията в тази точка.
Локален минимум Функцията има локален минимум в точка от дефиниционната си област, когато може да се намери достатъчно малка околност , с от дефиниционната област на , в която няма стойноси на , по-малки от , т.е. за принадлежащо на , с .
Локален максимум Функцията има локален максимум в точка от дефиниционната си област, когато може да се намери достатъчно малка околност , с от дефиниционната област на , в която няма стойности на , по-големи от , т.е.
за принадлежащо на , с .
Необходимо условие за локален екстремум Ако функцията има екстремум в дадена точка и е диференцируема в тази точка, първата ѝ производна в тази точка е равна на нула.
Достатъчно условие за локален екстремум Ако функцията е два пъти диференцируема в околност на точката , при което , а е различно от , като е непрекъсната в тази точка, функцията има екстремум в точката x = x0 – минимум, когато и максимум, когато .
Източници Учебник по математика за 12 клас, профилирана подготовка, издателство „Просвета“
Категория:Математически обекти