В специалната теория на относителността, електромагнетизма и теорията на вълните, операторът на Д'Аламбер (обозначаван с кутийка: ), също наричан Д'Аламбертиан или вълнов оператор, е лапласиан в пространството на Минковски. Операторът е наречен в чест на френския математик и физик Жан льо Рон д'Аламбер.
В пространство на Минковски и в стандартни координати операторът има следната форма:
Тук ∇² е триизмерен лапласиан, а е обратната метрика на Минковски с
, , for .
Трябва да се отбележи, че показателите за сума на и са в диапазона от 0 до 3. Взети са такива единици предвид, че скоростта на светлината = 1.
Някои автори също така използват отрицателната метрична сигнатура от , с .
Трансформациите на Лоренц оставят метриката на Минковски инвариантна, така че Д'Аламбертианът дава Лоренцов скалар. По-горният координатен израз остава валиден за стандартни координати във всяка инерциална система.
Алтернативна нотация Има различни нотации за Д'Аламбертиана. Най-честото означение е със символа : четирите страни на квадрата представляват четирите измерения на пространство-времето и , който подчертава скаларното свойство. Символът понякога се нарича квабла (по аналогия с набла). Придържайки се към триъгълната нотация на лапласиана, понякога се използва и нотацията ∆M.
Друг начин за изписване на Д'Аламбертиана в стандартни координати е с ∂². Тази нотация се използва основно в квантовата теория на полето, където частните производни обикновено се индексират.
Приложение Вълновото уравнение за малки вибрации има вида:
където е преместването.
Вълновото уравнение за електромагнитно поле във вакуум е:
,
където е електромагнитният 4-потенциал.
Уравнението на Клайн – Гордън има вида:
.
Функция на Грийн Функцията на Грийн за Д'Аламбертиана е дефинирана от уравнението:
където е многоизмерната делта функция на Дирак, а и ' са две точки в пространството на Минковски.
Специално решение се получава от забавената функция на Грийн, която съответства на разпространението на сигнал само напред във времето:
,
където Θ е функцията на Хевисайд.
Запис в криволинейни координати Операторът на Д'Аламбер в сферични координати:
в цилиндрични координати:
в общи криволинейни координати (за пространство-време):
където е детерминанта на матрицата , съставена от коефициентите на метричния тензор .
Вижте също 4-градиент
Източници
Категория:Диференциално смятане Категория:Специална теория на относителността