В математиката, в частност – алгебрата, обобщената обратност на елемент х е елемент y , който има някои от свойствата на обратност, но не притежава всички от тях. Обобщената обратност може да бъде определена във всяка математическа структура, която включва асоциативна мултипликация, т.е. е в полугрупи. Тази статия описва обобщените обратности на матрицата .
Формално дефинирано, за матрицата и матрицата , е обобщена обратна на , ако отговаря на условието .
Целта на изграждане на обобщена обратна матрица е да се получи матрица, която може да служи като обратна връзка в известен смисъл за по-голям брой матрици, което не важи за обратната матрица. Обобщена обратност съществува за произволна матрица, а когато матрицата има редовна обратност, то тогава тази обратност е уникалната обобщена обратност.
Мотивация Да разгледаме линейната система
където е матрица и е колонното пространство на . Ако е неособена, тогава ще бъде решение на системата. В този случай, К. Р. Рао и С. К. Митра наричат редовна обратност на . Трябва да се има предвид, че ако е неособена, то тогава
Да предположим, че е особена, или . Тогава имаме нужда от подходящ кандидат от ред такъв, че за всички ,
Т.е. е решение на линейната система .
С други думи, нуждаем се от матрицата от ред така, че
По този начин можем да определим общата обратност или g-братност както следва: за дадена матрица , матрицата се нарича обобщена обратна на , ако
Видове Следват условията на Пенроуз за определяне на различните обобщени обратности на и
където е транспониране на спрегнато. Ако отговаря на първото условие, то тогава тя е обобщено обратна на . Ако отговаря на първите две условия, тогава тя е рефлективно обобщено обратна на . Ако тя отговаря на четирите условия, то тя е псевдообратна на . Псевдообратната понякога се нарича Мур-Пенроуз обратна, поради приноса на Д. З. Мур и Роджър Пенроуз. Когато е неособена, е уникална, но във всички други случаи има безкраен брой матрици, които отговарят на условието (1). Въпреки това, Мур-Пенроуз обратността е уникална.
Има и други видове обобщена обратност: Едностранна обратност (дясна или лява обратност) Дясна обратност: Ако матрицата има размери и , то тогава съществува матрица която се нарича дясно обратна на така, че , където е единична матрица. Лява обратност: Ако матрицата има размери и , то тогава съществува матрица , която се нарича ляво обратна на така, че , където е единична матрица.
Бот–Дафина обратност Дражин обратност
Примери Рефлективна обобщена обратност Нека
Където , е особена и не е регулярно обратна. Въпреки това, и отговарят на условията (1) и (2), но не и на (3) и (4). Следователно, е рефлективно обобщена обратност на .
Еднопосочна обратност Нека
Където не е квадратна, а няма регулярни обратности. Въпреки това, е дясно обратна на . Матрицата няма лява обратност.
Изграждане Следните характеристики са лесни за потвърждение: Дясна обратност на неквадратна матрица . . Ако е рангова факторизация, то тогава е g-обратна на , където е дясна обратност на и лява обратност на . Ako за която и да е необратна матрица и , то тогава е обобщена обратност на за случайни и . Нека бъде от ранг . Без загуба на обобщеност, нека
където е неособена подматрица на . Тогава, е g-обратна на .
Приложения Всяка обобщена обратност може да се използва, за да се определи дали система от линейни уравнения има решения и ако има, да върне всички тях. Ако някакви решения съществуват за линейната система n × m , с вектор от неизвестни и вектор от константи, всички решения са дадени от , параметрично на произволен вектор , където е която и да било обобщена обратност на . Съществуват решения тогава и само тогава, когато е решение, което е вярно тогава и само тогава, когато .
Източници
Категория:Матрици Категория:Математически концепции