Триъгълно числоКак да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата вдясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от първите n естествени числа. Числото 0 („нулево триъгълно число“) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0. Първите 36 триъгълни числа (последователност A000217 в OEIS) са: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, …
Формула Точната формула за триъгълно число е: , където е биномен коефициент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.
Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство. За всяко триъгълно число си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери . Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: . Например се илюстрира по следния начин: (зелени плюс жълти) означава, че (зелени).
За доказателство се използва и математическата индукция.Andrews, George E. Number Theory, Dover, New York, 1971. pp. 3-4.
Връзка към други фигурни числа Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа. Произведението на две последователни естествени числа е правоъгълно число.
Така n-тото правоъгълно число е двойно по-голямо от n-тото триъгълно число. Сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число. То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:
Графично това се представя така: 6 + 10 = 1610 + 15 = 25 Има безкрайно количество триъгълни числа, които са едновременно и квадратни числа; например: 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула: с
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията: с и Сборът на първите n на брой триъгълни числа прави n-тото тетраедрално число, като има само 5 триъгълни числа, които са същевременно и тетраедрални:Последователност A027568 в OEIS 1, 10, 120, 1540 и 7140.
Триъгълни репдиджит числа Репдиджит е естествено число, състоящо се само от една и съща цифра.
Според последователност A045914 в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:
0, 1, 3, 6, 55, 66, 666
В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.
Вижте също Правоъгълно число Квадратно число Тетраедрално число
Източници
Категория:Числови редици Категория:Триъгълници