Квадратно число

В математиката, квадратно число или точен квадрат – това е число, получено при повдигането на квадрат (виж степенуване на втора степен) на цяло число; с други думи, това е произведението на едно число със себе си.Питагорейско учение за числата Например 9 е квадратно число, тъй като може да бъде записано под формата 3 × 3.

Обичайно за квадратът на числото не се използва , а равностойността му , като се произнася „на квадрат“. Името квадрат произлиза от едноименната геометричната форма, защото да намерим квадрата на числото е същото, като да намерим лицето на квадрат със страна .

Квадратните числа са неотрицателни (т.е. са по-големи или равни на нула). За всяко естествено число квадратното число е , като e нулевото квадратно число (лицето на квадрат със страна 0). За едно число се казва, че е квадратно (или точен квадрат), когато неговият корен квадратен отново е цяло число. Например , значи 9 е точен квадрат.

Цяло положително число, което няма делител точен квадрат различен от 1, се нарича безквадратно число.

Списък на квадратните числа Точните квадрат (последователност A000290 в OEIS) до 602 = 3600 са:

02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81

102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361

202 = 400 212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841

302 = 900 312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521

402 = 1600 412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401

502 = 2500 512 = 2601 522 = 2704 532 = 2809 542 = 2916 552 = 3025 562 = 3136 572 = 3249 582 = 3364 592 = 3481

Свойства Числото m е квадратно, ако и само ако m на брой квадратчета образуват квадрат: m = 12 = 1m = 22 = 4m = 32 = 9m = 42 = 16m = 52 = 25Забележка: Белите полета между сините квадратчета служат само за подобряване на визуалното възприятие. Не трябва да има интервали между реалните квадрати. За единица площ се определя площта на единичния квадрат (1 × 1). Следователно, квадрат с дължина на страните n има площ (или лице) n2.

Изразът за n-тия квадрат е n2. Това също е равно на сумата от първите n нечетни числа, както се вижда от графиката по-горе, където на лицето на предишния квадрат се добавят нечетен брой точки (показани в лилаво). Формулата е следната:

Така например 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Има няколко рекурсивни методи за изчисляване на квадратно число.

Разликата между всеки точен квадрат и неговия предшественик е , т.е. всеки следващ точен квадрат може да се изчисли по предишния посредством . С други думи, разликата между вторите степени на два последователни числа е сборът на двете числа – ако a и b са последователни числа (a+1=b), то b²-a²=a+b.

Освен това n-тото квадратно число може да бъде изчислено с удвояване на квадрата на предишното (n − 1), изваждане на квадрата на по-предишното (n − 2) и добавянето на 2, защото . Например, 2 × 52 − 42 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.

Число, което е с 1 по-малко от точен квадрат , е винаги равно на произведението на и (например 8 × 6 е равно на 48, а 7 е равно на 49). Така 3 е единственото просто число, по-малко с единица от точен квадрат.

Квадратно число също е сумата от две последователни триъгълни числа. Сумата на две последователни квадратни числа е центрирано квадратно число. Всеки нечетен точен квадрат е също и центрирано осмоъгълно число.

Още едно свойство на квадратното число (с изключение на 0) е, че има нечетен брой делители, докато другите естествени числа имат четен брой делители. Това е така, защото корен квадратен на числото образува двойка със себе си, за да се получи квадратното число, докато другите делители вървят по двойки.

В десетичната система, квадратът на число завършва само с цифрите 0, 1, 4, 5, 6 или 9, а именно: ако последната цифра е 0, квадратът завършва с 0 (всъщност последните две цифри са 00); ако последната цифра е 1 или 9, то квадратът свършва на 1; ако последната цифра е 2 или 8, то квадратът свършва на 4; ако последната цифра е 3 или 7, то квадратът свършва на 9; ако последната цифра е 4 или 6, то квадратът свършва на 6; и ако последната цифра номер е 5, квадратът завършва на 5 (всъщност последните две цифри са 25).

Квадратно число не може да бъде съвършено число.

При сумиране на първите n квадратни числа, има формула

Това се нарича квадратно пирамидално число. Първите са: (последователност A000330 в OEIS0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201, ...Всички четни степени (четвърта, шеста, осма и така нататък) представляват точни квадрати.

Специални случаи На число във формат m5, където m са предходните цифри преди завършващото 5, неговият квадрат е във формат n25, където n = m(m + 1) и представлява числата преди 25. Например, квадратът на 65 може да бъде изчислен с n = 6 × (6 + 1) = 42, което значи, че квадратът на 65 е 4225. Ако числото е във формат m0, където m са предходните цифри преди завършващата 0, неговият квадрат е n00, където n = m2. Например, квадратът на 70 е 4900. Двуцифрено число във формат 5m, където 5 е десетицата, а m е единицата, има квадрат във формат aabb, където aa = 25 + m и bb = m2. Например за квадрат на 57 изчисляваме: 25 + 7 = 32 и 72 = 49, което означава, че 572 = 3249. Ако числото завършва на 5, неговият квадрат ще завърши на 5; по същия начин и ако завършва на 25, 625, 0625, 90625 … 8212890625, и т.н. Ако числото завършва на 6, квадратът му също завършва на 6, по същия начин и ако завършва на 76, 376, 9376, 09376 … 1787109376. Например квадратът на 55376 е 3066501376, като и двете завършват на 376. (Числата 5, 6, 25, 76 и т.н. са наречени автоморфни числа. Тяхната последователност е A003226 в OEIS.

Четни и нечетни квадратни числа Квадратите на четните числа са четни (а в действителност кратни на 4), тъй като (2n)2 = 4n2.

Квадратите на нечетните числа са нечетни, тъй като (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

От това следва и че квадратните корени на четните квадратни числа са четни числа, а квадратните корени на нечетните квадратни числа – нечетни.

Тъй като всички четни квадратни числа се делят на 4, то четните числа във формат 4n + 2 не са точни квадрати.

Тъй като всички нечетни квадратни числа са във формат 4n + 1, то нечетните числа във формат 4n + 3 не са точни квадрати.

Вижте също Безквадратно число

Източници

Категория:Числови редици Категория:Цели числа Категория:Теория на числата Категория:Четириъгълници