nn sin(1/n)10.84147120.958851...100.998334...1000.999983 Докато положителното цяло число расте, стойността на става все по-близка до . Тоест, границата на редицата е .

В математиката, граница на редица от елементи на метрично пространство или топологично пространство е елемент от същото пространство, който има свойството да „привлича“ елементи от дадена последователност. Ако такава граница съществува, редицата е сходяща. Ако редицата не е сходяща, то тя е разходяща. Граница на редица е фундаментално понятие, на което почива целия математически анализ.

Граница на числова редица Граница на дадена числова редица е число точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число може да се намери такова число N(ε), че всички членове аn на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l – ε, l + ε), т.е. да е изпълнено |аn – l| < ε за всички n > N(ε).

По-интуитивно определение е следното: Дадено число е граница на числовата редица , ако всяка околност („всяка околност“ е интервалът за произволно ) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Свойства на сходящите редици Ако редиците (an), (bn) и (cn) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то

за bn ≠ 0 и ≠ 0.

за c = const.

при с1 = const, c2 = const.

при b > 0, a > 0, b ≠ 1.

при а > 0 и произволно р.

По-общо определение за сходяща редица За редица от точки в метрично пространство M с функция-дължина d (например, редица от рационални числа, реални числа, комплексни числа, точки в нормирано пространство, и др.):

Ако казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с

т.е.: тогава и само тогава, когато за всяко реално число , съществува естествено число N такова, че за всяко е изпълнено

Като обобщение на горното за редица от точки в топологично пространство T:

Ако казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с

т.е.: тогава и само тогава, когато за всяка околност S на L съществува естествено число N такова, че за всяко

Ако една редица има граница, казваме, че е сходяща или че редицата клони към някаква граница. В противен случай редицата е разходяща.

Примери Редицата 1, -1, 1, -1, 1, ... е разходяща. Редицата 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... е сходяща и има граница 1. Това е пример за безкраен ред. Ако a е реално число с абсолютна стойност |a| < 1, то редицата an клони към 0. Ако 0 < a ≤ 1, то редицата a1/n клони към 1.

Още:

при p > 0.

при |a| < 1.

.

при a > 0.

Източници

Категория:Математически анализ