В математиката, бета-функцията (), наричана също и Ойлеров интеграл от първи род, е специална функция, определяна чрез
за .
Бета-функцията е изучавана от Ойлер и Льожандър, а името ѝ е дадено от Жак Бине.
Свойства Бета-функцията е симетрична, което ще рече, чеDavis (1972) 6.2.2 с.258
Ключово свойство на тази функция е връзката ѝ с гама-функцията.
Когато и са положителни цели числа, от определението на гама-функцията следва, че:
Бета-функцията удовлетворява няколко интересни тъждества, включително:
където е прекъсната степенна функция, а звездичката обозначава конволюция.
Най-долното тъждество по-горе показва в частност, че . Някои от тези тъждества, например тригонометричната формула, могат да се приложат при извеждането на обема на -елипсоида в Декартови координати.
Ойлеровият интеграл за бета-функцията може да се преобразува в интеграл по контур на Покхамер както следва:
Този интеграл е сходящ за всички стойности на и и така предоставя аналитично продължение на бета-функцията.
Както гама-функцията за цели числа описва факториелите, бета-функцията може да определя биномен коефициент, след като се нагодят индексите:
Освен това, за цяло число , може да приеме такъв коефициент, че да дава затворена форма, функция на интерполация за непрекъснати стойности на :
Бета-функцията е първата позната матрица на разсейване в струнната теория, което е предположено за пръв път от Габриеле Венециано.
Връзка с гама-функцията За да се изведе интегралното представяне на бета-функцията, произведението на двата факториела трябва да бъде записано като
Променянето на променливите и показва, че
където е абсолютната стойност на детерминантата на матрицата на Якоби за и .
Това тъждество може да бъде разгледано и като частен случай на тъждеството за интеграл от конволюция. Имайки дадени
се получава:
Производни Имаме
където е дигама-функция.
Приближение Формулата на Стърлинг дава асимптотичната формула
за големи и . Ако е голямо, но е точно определено, тогава
Източници
Категория:Специални функции