Ортоцентър се нарича пресечната точка на правите, определени от трите височини на даден триъгълник. Положението на ортоцентъра спрямо триъгълника зависи от неговия вид: Лежи вътре в триъгълника, когато той е остроъгълен (трите му вътрешни ъгли са по-малки от 90°); Лежи извън триъгълника, когато той е тъпоъгълен (има ъгъл, по-голям от 90°); Съвпада с върха, където е правият ъгъл, когато е правоъгълен триъгълник.
Свойства Съществуване За да е легитимно определението на ортоцентър първо трябва да се докаже, че правите, съдържащи трите височини в един триъгълник се пресичат в една точка. Ще разгледаме две доказателства. Нека , и .
Доказателство с окръжности
Означаваме . Понеже , то четириъгълникът е вписан в окръжност. Тогава . В четириъгълникът , , следователно и той е вписан. Това означава, че . От и става ясно, че . Нека сега . В триъгълник , и , следователно . С това доказахме, че трите височини се пресичат в една точка.
Доказателство с вектори
От тъждеството на Ойлер имамеПонеже скаларното произведение на два перпендикулярни вектора е равно на нула, то стигаме до извода, че
откъдето и
Следователно трите височини се пресичат в една точка.
Еднакви окръжности Нека е ортоцентърът на триъгълник . Тогава окръжностите, описани около триъгълниците и , са еднакви.
Доказателство
Нека . Тогава . Прилагаме синусовата теорема за триъгълниците и :
където и са радиусите на окръжностите, описани съответно около триъгълниците и .
Но , следователно системата придобива следния вид:
откъдето става ясно, че , т.e. окръжностите са еднакви.
Аналогично може да се покаже, че и
Права на Ойлер Ортоцентърът, центърът на описана окръжност, медицентърът и центърът на Окръжността на деветте точки лежат на една права - права на Ойлер. Центърът на Окръжността на деветте точки съвпада със средата на отсечката, свързваща ортоцентъра с центъра на описаната окръжност, а разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е половината от това между медицентъра и ортоцентъра.
Източници
Категория:Математика Категория:Геометрия на триъгълника