Векторното произведение на два вектора и е вектор, перпендикулярен на равнината, определена от векторите и , образува дясна тройка с тях и има дължина, равна на произведението от големините на двата вектора и синуса на ъгъла между тях.

Ъгълът между два вектора приема стойности от до , следователно синусът му, а оттам – и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана):

Самото векторно произведение на два вектора се дефинира така:

като тук .

Ако са нанесени векторите и с общо начало, то директрисата на вектора минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от и . Посоката на вектора се определя с правилото да образуват дясно ориентирана тройка вектори.

Аналитично представяне Ако векторите и са зададени с координатите си и в тримерното пространство и са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то:

.

По-подробно горната формула изглежда така:

Свойства Антикомутативност:

Доказателство:

Дистрибутивност:

Доказателство:

Тъй като , то:

Линейност: за произволни реални числа и .

Доказателство:

Понеже и , то:

Ако , то

Доказателство:

Щом , то , откъдето следва, че

Пресмятане на векторното произведение

Нека са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система. Тогава са в сила равенствата:

.

Понеже векторното произведение е антикомутативно, то:

.

Освен това лесно може да се покаже, че (равенствата следват от антикомутативността на векторното произведение).

С помощта на тези равенства можем да изразим векторното произведение на векторите и .

Понеже

то векторното произведение ще бъде равно на:

Геометрично тълкуване

Нека с бележим лицето на успоредника и нека е ъгълът, заключен между и . Тогава:

Приложение В аналитичната геометрия: Пресмятане на лице на успоредник и лице на триъгълник; В механиката: пресмятане на момент на сила, въртящ момент; В механиката на непрекъснатите среди (електро -, аеро – и хидродинамика): пресмятане на ротацията на векторно поле.

Категория:Линейна алгебра Категория:Аналитична геометрия Категория:Векторен анализ