Тригонометричните тъждества са групи равенства и неравенства в тригонометрията, които свързват тригонометричните функции и които са в сила за всяка стойност на променливите, за която всички части на равенството са дефинирани. Геометрично това са тъждества, включващи определени функции на един или повече ъгли. Те се различават от триъгълните тъждества, които са тъждества, потенциално включващи ъгли, но също така включващи дължини на страни или други дължини на триъгълник.

Тези тъждества са полезни, когато изрази, включващи тригонометрични функции, трябва да бъдат опростени. Важно приложение е интегрирането на нетригонометрични функции: често срещана техника включва първо използване на правилото за заместване с тригонометрична функция и след това опростяване на получения интеграл с тригонометрично тъждество.

Основни тригонометрични формули № Формула Допустими стойности на аргумента 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Формула (1.1) е следствие от теоремата на Питагор. Формули (1.2), (1.3) и (1.4) се получават от формула (1.1) чрез деление съответно на , и . Формула (1.5) следва от определението за тангенс и котангенс.

Питагорови тъждества Основното тригонометрично тъждество (1.1) свързва функциите синус и косинус и е пряко следствие на питагоровата теорема:

Това уравнение може да бъде решено както за синуса, така и за косинуса:

като променливият знак зависи от квадранта на ъгъла

С разделянето на основното тъждество на , или и на двете се получават основните тъждества за тангенс , котангенс , секанс , косеканс :

Въз основа на основните тригонометрични тъждества всяка от тригонометричните функции може да се изрази чрез някоя друга тригонометрична функция: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 4, eqn 4.3.45". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 73. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253. + Всяка тригонометрична функция, изразена чрез всяка от останалите пет изразена чрез

Отражения, измествания и периодичност Чрез изследване на единичната окръжност могат да се установят следните свойства на тригонометричните функции.

Отражения Когато посоката на Евклидов вектор е представена с ъгъл , това е ъгълът, определен от свободния вектор (изхождащ от началото на координатната система) и положителния единичен вектор . Същата концепция може да се приложи и към линии в Евклидово пространство, където ъгълът е този, определен от успоредна на дадената линия през началото на координатната система и положителната ос . Отражение или отразен ъгъл на ъгъла е ъгъл, който e по-мълък с от 0°, 90°, 180°, 270° и 360°.

На фиг. 3 е показана единична окръжност с разгънат ъгъл , нанесена в координати . Тъй като ъгълът се отразява на стъпки от 45° или радиана, координатите се трансформират. За трансформация от или 90° – θ, координатите се трансформират в . Друго увеличение на ъгъла на отражение с (общо 90° или 180° – θ) трансформира координатите в . Трето увеличение на ъгъла на отражение с още (общо 135° или 270° – θ) трансформира координатите в . Последно увеличение от (общо 180° или 360° – θ) трансформира координатите в . Ако линия (вектор) с посока се отразява около линия с посока , тогава ъгълът на посоката на тази отразена линия (вектор) има стойност .

Стойностите на тригонометричните функции на тези ъгли за специфични ъгли удовлетворяват прости тъждества: или са равни, или имат противоположни знаци, или използват допълнителната тригонометрична функция. Те са известни още като редукционни формули. + Тригонометрични функции от отразени ъгли на ъгъла Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15 Обратен ъгъл , четни/нечетни тъждества Допълващ ъгъл до 90° Допълващ ъгъл до 180° Допълващ ъгъл до 270° Допълващ ъгъл до 360° както при обратен ъгъл

Измествания и периодичност

На фиг. 4 е изобразена единична окръжност с отместени ъгли, означени с цветни дъги и стрелки. Оригиналният ъгъл е означен с червено и горният му лъч пресича окръжността в точка с координати . При увеличаване на ъгъла с 90°, т. е. радиана, координатите се трансформират в – оранжево. Друго увеличение от 180° трансформира координатите до /зелено/. Третото увеличение с 270° трансформира координатите до – синьо. Последното увеличение с 360° трансформира координатите отново до /червено/. Аналогично се получават отместените ъгли чрез намаляване на ъгъла, като намаляването с е равно на увеличаване с , т.е. отместеният ъгъл .

Тъй като абсцисата означава косинуса, а ординатата – синуса на ъгъла, отчитайки равенствата и , могат да се получат стойностите на тригонометричните функции за посочените измествания. + Тригонометрични функции от отместени ъгли с измествания части от периода и цели периоди , изразени в градусиЧетвърт период Половин период Три четвърти период Цели периоди Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–9 Период

+ Тригонометрични функции от отместени ъгли с измествания части от периода и цели периоди , изразени в радианиЧетвърт период Половин период Три четвърти период Цели периоди Период

+ Тригонометрични функции от отместени ъгли с измествания на части от периода и цели периоди , изразени в градуси Период

+ Тригонометрични функции от отместени ъгли с измествания на части от периода и цели периоди , изразени в радиани Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.44Период Тригонометрични функции от сума и разлика на ъгли Функции от сума и разлика на два ъгъла

Тъждествата за разлика на ъглите за и могат да бъдат изведени от версиите за сума на ъглите (и обратно) чрез заместване на с и използване на фактите, че и . Те могат да се разглеждат и като изразяване на скаларното произведение и векторното произведение на два вектора чрез косинус и синус на ъгъла между тях.

Формулите за синус и косинус от сума и разлика на ъгли са представени геометрично съответно на фиг. 5 и фиг. 6. Тези тъждества са обобщени в първите два реда на следващата таблица, която включва и тъждества за сума и разлика за останалите тригонометрични функции. +Тригонометрични функции от сума и разлика на два ъгъла № ФункцияФормула Допустими стойности на аргумента 2.1 Синус Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16 Weisstein, Eric W. Trigonometric Addition Formulas, MathWorld. 2.2 Косинус Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17 2.3 Тангенс Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18 , , 2.4 Котангенс Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.19 , , 2.5 Секанс , , 2.6 Косеканс , ,

Доказателства на формулите за синус и косинус от сбор на два ъгъла Както е показано на фиг. 7, отсечката е построена перпендикулярно на , а отсечката е построена успоредно на и са означени ъглите и .

От това следва равенство на ъглите (като кръстни ъгли) и (като ъгли с взаимно перпендикулярни рамене), както и равенство на страните = (от успоредника ). Тогава

Функции от сума на три ъгъла № Формула Допустими стойности на аргумента2.7 , , 2.8 , , 2.9 , , , 2.10 , , ,

Функции от суми на много ъгли Синус и косинус от безкрайни суми Когато редицата схожда абсолютно, тогава

Тъй като редицата схожда абсолютно, е необходимо да е валидно и В частност, в тези две тъждества се появява асиметрия, която не се наблюдава в случая на суми от краен брой ъгли: във всяко произведение има само краен брой синусови множители, но има и краен брой косинусови множители. Членовете с безкрайно много синусови множители непременно биха били равни на нула.

Когато само краен брой от ъглите са различни от нула, тогава само краен брой от членовете от дясната страна са различни от нула, защото всички синусови множители, с изключение на крайния брой, изчезват. Освен това, във всеки член всички косинусови множители, с изключение на крайния брой, са единица.

Тангенс и котангенс от суми на ъгли Нека (за ) е елементарен симетричен многочлен от -та степен на променливите за това е

Тогава

Това може да се покаже с помощта на формулите за синус и косинус от сума на ъгли по-горе:

Броят на членовете от дясната страна зависи от броя на членовете от лявата страна.

Например:

и така нататък. Случаят само с краен брой членове може да се докаже чрез математическа индукция. Случаят с безкрайно много членове може да се докаже с помощта на някои елементарни неравенства.Michael Hardy. (2016). "On Tangents and Secants of Infinite Sums." The American Mathematical Monthly, volume 123, number 7, 701–703. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.123.7.701

Секанс и косеканс от суми на ъгли

където е -тата степен на елементарен симетричен многочлен на променливи а броят на членовете в знаменателя и броят на множителите в произведението в числителя зависят от броя на членовете в сумата отляво. Случаят на само краен брой членове може да бъде доказан чрез математическа индукция по броя на тези членове.

Например, (2.15)

(2.16)

Теорема на Птолемей Теоремата на Птолемей е важна в историята на тригонометричните тъждества, тъй като чрез нея за първи път са доказани резултати, еквивалентни на формулите за синус и косинус от сума и разлика на ъгли.

Тя гласи, че в цикличен четириъгълник сумата от произведенията на дължините на противоположните страни е равна на произведението на дължините на диагоналите. В специалните случаи, когато един от диагоналите или страните е диаметър на окръжността, тази теорема води директно до тригонометричните тъждества за сума и разлика на ъглите. Връзката следва най-лесно, когато окръжността е конструирана с диаметър с дължина едно, както е показано за четириъгълник на фиг. 8.

По теоремата на Талес и двата ъгъла и са прави. Правоъгълните триъгълници и споделят хипотенузата с дължина 1. Следователно, страната , , и .

Съгласно теоремата за вписания ъгъл, централният ъгъл, ограничаващ хордата , е два пъти по-голям от ъгъла , т.е. . Следователно, симетричната двойка червени триъгълници има ъгъл в центъра. Всеки от тези триъгълници има хипотенуза с дължина , така че дължината на е , т.е. просто . Другият диагонал на четириъгълника е диаметърът с дължина 1, така че произведението на дължините на диагоналите също е .

Когато тези стойности се заместят в твърдението на теоремата на Птолемей, че , това води до тригонометричното тъждество за синус от на сумата на ъглите: . Формулата за разлика на ъглите за може да се изведе по подобен начин, като страната служи като диаметър вместо .

Тригонометрични функции от кратни ъгли Формулите за тригонометрични функции от кратни ъгли следват от формулите за функции от сума на равни ъгли. Функции от двоен ъгъл Геометричното извеждане на формулите е илюстрирано на фиг. 9 за ъгли α и β между 0° и 90°.Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 46.

Изчисляването на площите на двата сиви триъгълника дава 1/2 ⋅ 2 sin α ⋅ 2 cos α = =1/2 ⋅ 2 ⋅ sin (2α). Това предполага .

Формулата може да се докаже и с равнобедрен триъгълник, както е показано на фиг. 10. За този равнобедрен триъгълник с единични страни и ъгъл , площта × основа × височина се изчислява в две ориентации. Когато триъгълникът е изправен, площта е . Когато е настрани, същата площ е 1/2 sin 2θ. Следователно,

+Тригонометрични функции от двоен ъгъл № Формула Допустими стойности на аргумента3.1.13.1.2 3.2.13.2.23.2.33.2.4

3.3.13.3.2

3.3.3 3.4.13.4.2 3.5.13.5.2 3.6.13.6.23.6.3 Формула (3.6.3) е известна като формула на Айзенщайн.Фердинанд Готхолд Айзенщайн (16 aприл 1823 – 11 oктoмври 1852) – пруски математик. Доказана е геометрично на фиг. 11.

Функции от троен ъгъл Тригонометричните функции от тройни ъгли могат да се преобразуват в разлика или произведение на функции от единични ъгли със следващите формули. № Формула Допустими стойности на аргумента3.7.13.7.2 3.8.13.8.2 3.9.13.9.2 3.10.13.10.2 3.11 3.12