Показателна функция

Показателната функция е математическа функция на степенния показател на степента с основа . В общи случаи тя има вида

и може да се представи като ,

където са реални числа.

В реалния случай основата на степента е някакво положително реално число, различно от 1 (за отрицателни числа повдигането на реална нецяла степен е неопределено), а аргументът на функцията е реалният показател.

Особено забележителен случай е, когато основата на степента е числото . Такава функция се нарича експоненциална (реална или комплексна). Освен това поради факта, че всяка положителна основа може да бъде представена като степен на числото , понятието „експонента“ често се използва като синоним на „показателна функция“.

Показателната функция преобразува суми в произведения: ако степенният показател е сума от числа, степента е равна на произведението на отделни степени с показатели тези числа. В най-простия случай при две събираеми и : ⁠.

Обратна функция на показателната функция е логаритъмът, при който се определя степенния показател при известни основа и степен : ако . Логаритмуването преобразува произведения в суми: ⁠⁠.

В теорията на сложните функции се разглежда по-общ случай, при който аргументът и показателят могат да бъдат всяко комплексно число. Това разкрива връзки между умножението на комплексни числа, завъртанията в комплексната равнина и тригонометрията. Формулата на Ойлер ⁠ ⁠ изразява и обобщава тези връзки за частния случай на експоненциална функция.

Най-общата форма е въведена от Лайбниц през 1695 г.

Реална функция Определение на показателна функция Нека е положително реално число и е рационално число: . Тогава се дефинира въз основа на свойствата на степен с рационален показател, съгласно следните правила.

Ако , тогава . Ако и , тогава . Стойността е неопределена (нула на степен нула). Ако и , тогава . Стойността на за е неопределена.

За произволен реален показател , стойността може да се дефинира като граница на редицата ,

където е поредица от рационални числа, сходящи към . Тоест, .

Свойства Свойства при степенуване, коренуване и логаритмуване

Последното равенство изразява показателна функция с произволна положителна основа чрез експонента. То се получава от определението за натурален логаритъм като обратна функция на експонентата, изразено чрез равенството e .

Свойства при диференциране и интегриране

От последния израз за показателна функция по правилата за диференциране на степенна и сложна функция и свойството на експонентата се получава производната на показателна функция:

.

Интервали на монотонност

Тъй като показателната функция винаги е положителна, знакът на нейната производна зависи само от знака на . Следователно, функцията е строго нарастваща, когато основата е строго по-голяма от 1; тя е строго намаляваща, когато основата е по-малка от 1, и е константна, ако основата е .

При показателната функция е нарастваща навсякъде и

(за всяко и ).

При функцията намалява навсякъде и съответно

(за всяко и ).

Формулите показват, че показателната функция расте до безкрайност по-бързо от която и да е полиномна функция. Този бърз темп на растеж може да се илюстрира например с ограничението при сгъване на хартия.Физическото ограничение за сгъване на хартия зависи от размерите на листа и се дължи на бързото изменение на показателната функция, по която нараства броят на слоевете и намаляват размерите им. Лист обикновена хартия А4 може да се сгъне наполовина до 7 пъти – получават се 27 слоя хартия.

Число :

Обръща се внимание на уникалното свойство на експоненциалната функция: намираме (такова число , чиято производна на показателната функция е равна на самата функция): .

Възможността за определяне на лесно се вижда след съкращаване с : .

Избирайки , окончателно се получава Неперовото число: .

Обърнете внимание, че функцията може да бъде представена по друг начин като редица (валидността може лесно да се установи чрез диференциране член по член):

От тук има по-точно приближение: .

Единственността на числото се показва лесно, изменяйки . Действително, ако премине някъде по-високо от , тогава на същия интервал ще има област, където .

Обратна функция и антилогаритъм

Подобно на обратимостта на степенуването и коренуването, обратна функция на показателната функция е логаритмичната функция: (логаритъм от при основа ).

Антилогаритмуване е намирането на число от известен негов логаритъм,Потенцирование // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 479. — 847 с., ил. — 148 900 экз. т.е. решаване на уравнението . Нарича се още потенциране (от немски potenzierenТерминът е използван за първи път от швейцарския математик Йохан Ран (1659 г.).) От определението на логаритъма следва, че . По този начин, повдигането на на степен може да се нарече „антилогаритмуване на при основа “ или изчисляване на показателната функция на .

Антилогаритъмът на числото е резултат от степенуване, т.е. число, чийто логаритъм (за дадена основа ) е равен на числото :Антилогарифм // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 73. — 847 с., ил. — 148 900 экз. / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 73.Антилогарифм // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1: А — Г. — 1152 стб. : ил. — 150 000 экз.

Терминът „антилогаритъм“ е въведен от Джон Уолис през 1693 г. Като самостоятелно понятие антилогаритъмът се използва в логаритмични таблици,Логарифмические таблицы // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 330. — 847 с., ил. — 148 900 экз. логаритмични линийки и калкулатори. Например, за да се извлече кубичен корен от с помощта на логаритмични таблици, се намира логаритъма на , разделя се на 3 и след това (използвайки таблицата с антилогаритми) се намира антилогаритъма на резултата.

Подобно на логаритмите, антилогаритъмът с основа се нарича натурален, а с основа 10 – десетичен.

Антилогаритъмът се нарича още обратен логаритъм.

В инженерните калкулатори антилогаритмуването обикновено се представя като две функции: и .

Примери Пример 1 (нарастваща показателна функция): Някакво население се увеличава с 20 % на всеки 10 години. Ако през 1955 г. броят на населението е , за 10 години то нараства 1,2 пъти и през 1965 г. ще бъде N × 1,2, през 1975 г. – (N × 1,2) × 1,2 = N × 1,22 и т.н. след n десетилетия ще достигне N × 1,2n. По обратния път е възможно да се определи броят на населението през 1945, 1935 г., ... който ще бъде N × 1,2−1, N × 1,2−2 и т. н.

Пример 2 (намаляваща показателна функция): Никел-63 има период на полуразпад T = 100 години, което означава, че на всеки T години броят на радиоактивните частици се намалява наполовина. Ако се измери в даден момент броя N на радиоактивните частици, след n периода на полуразпад, той ще бъде само N × (1/2)n.

Тогава въпросът е как да се определи броят на населението или радиоактивните частици между две измервания (десетилетието за населението или времето на полуразпад за частиците). Това включва „запълване на празнините между целите числа“. Един начин за намиране е с помощта на n-тия корен. В първия пример ако населението се е умножило по 1,2 за 10 години, да се определи с какъв коефициент се умножава всяка година. Това се определя от степенния показател, означаващ периода: ако за 10 години населението нараства 1,2 пъти, всяка година то се умножава по такова реално число , че , т.е. . Анологично във втория пример за всяка година броят на радиоактивните частици намалява пъти. В общия случай, при изменение с % за период от единици, за една единица изменението е , а за единици .

Комплексна функция За да се разшири показателната функция функция на комплексната равнина, тя се изразява чрез експоненциална функция с формулата и се използва разлагането на експонентата в ред, като се замества реалния аргумент с комплексен: .

Тази функция има същите основни алгебрични и аналитични свойства като реалната функция. Разделяйки реалната част от имагинерната част в редицата за , се получава известната формула на Ойлер: .

Това означава, че комплексната експонента е периодична по имагинерната ос: .

Показателна функция с произволни комплексна основа и степенен показател се изчислява лесно с помощта на комплексна експонента и комплексен логаритъм.

Пример: ; тъй като (главната стойност на логаритъма), накрая се получава: .

Вижте също Експоненциална функция Двойна показателна функция Степенуване Коренуване Логаритъм

Източници и бележки

Категория:Специални функции