Коефициентите на Грегъри , известни още като реципрочни логаритмични числа, числа на Бернули от втори вид или числа на Коши от първи вид,Ch. Jordan. The Calculus of Finite Differences Chelsea Publishing Company, USA, 1947.L. Comtet. Advanced combinatorics (2nd Edn.) D. Reidel Publishing Company, Boston, USA, 1974.P. C. Stamper. Table of Gregory coefficients. Math. Comp. vol. 20, p. 465, 1966.D. Merlini, R. Sprugnoli, M. C. Verri. The Cauchy numbers. Discrete Math., vol. 306, pp. 1906–1920, 2006.P.T. Young. A 2-adic formula for Bernoulli numbers of the second kind and for the Nörlund numbers. J. Number Theory, vol. 128, pp. 2951–2962, 2008.V. Kowalenko. Properties and Applications of the Reciprocal Logarithm Numbers. Acta Appl. Math., vol. 109, pp. 413–437, 2010.V. Kowalenko. Generalizing the reciprocal logarithm numbers by adapting the partition method for a power series expansion. Acta Appl. Math., vol. 106, pp. 369–420, 2009.F. Qi and X.-J. Zhang. An integral representation, some inequalities, and complete monotonicity of Bernoulli numbers of the second kind. Bull. Korean Math. Soc., vol. 52, no. 3, pp. 987–98, 2015.Weisstein, Eric W. – "Logarithmic Number." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. са рационалните числа, които се срещат в разлагането на реципрочния логаритъм в ред на Маклорен:

Коефициентите на Грегъри се редуват по знак за и намаляват по абсолютна стойност. Тези числа са кръстени на Джеймс Грегъри, който ги въвежда през 1670 г. в контекста на численото интегриране. Впоследствие те са преоткрити от много математици и често се появяват в трудовете на съвременни автори, които невинаги ги разпознават.J.F. Steffensen. Interpolation (2nd Edn.). Chelsea Publishing Company, New York, USA, 1950.

Числени стойности

Изчисления и представяния Най-лесният начин за изчисляване на коефициентите на Грегори е чрез използване на формулата за рекурентностРекурентност – възвръщане, идване отново.

с .J. C. Kluyver. Euler's constant and natural numbers. Proc. K. Ned. Akad. Wet., vol. 27(1-2), 1924.S.C. Van Veen. Asymptotic expansion of the generalized Bernoulli numbers Bn(n − 1) for large values of n (n integer). Indag. Math. (Proc.), vol. 13, pp. 335–341, 1951.

Коефициентите на Грегори могат да бъдат изчислени и експлицитно чрез следния диференциал

или интеграл

което може да се докаже чрез интегриране на спрямо в границите от 0 до 1 – веднъж директно и втори път, използвайки първо разлагането в биномиален ред.

Това предполага формулата за крайната сума

където са числата на Стирлинг от първи род, и интегралната формула на ШрьодерI. V. Blagouchine, A Note on Some Recent Results for the Bernoulli Numbers of the Second Kind. Journal of Integer Sequences, Vol. 20, No. 3 (2017), Article 17.3.8 arxiv:1612.03292Ernst Schröder, Zeitschrift fur Mathematik und Physik, vol. 25, pp. 106–117 (1880)

Вижте също Джеймс Грегъри Ред на Маклорен

Източници

Категория:Числови редици Категория:Теория на числата