Теоремата на Птолемей в Евклидовата геометрия е връзка между четирите страни и два диагонала на вписан четириъгълник в окръжност (четириъгълник, чиито върхове лежат на обща окръжност). Теоремата е кръстена на гръцкия астроном и математик Клавдий Птолемей.Клавдий Птолемей – Алмагест, Книга 1, Глава 10. Птолемей използва теоремата като помощно средство за създаването на своята таблица на хордите – тригонометрична таблица, която той прилага в астрономията.
Ако върховете на вписания четириъгълник са A, B, C и D по ред, тогава теоремата гласи, че:
.
Тази връзка може да бъде изразена словесно, както следва:
Ако един четириъгълник е вписан, тогава произведението на дължините на неговите диагонали е равно на сумата от произведенията на дължините на двойките противоположни страни.
Освен това обратното на теоремата на Птолемей също е вярно:
Ако сумата от произведенията на дължините на двете двойки противоположни страни на четириъгълник е равна на произведението на дължините на диагоналите му, тогава около четириъгълника може да се опише окръжност, т.е. той е вписан четириъгълник.
За да се оцени полезността и общото значение на теоремата на Птолемей, е особено важно да се изучат основните ѝ следствия.
Следствия
Ако равностранен триъгълник е вписан в окръжност, разстоянието от точка от окръжността до най-отдалечения връх на триъгълника е сумата от разстоянията от точката до двата по-близки върха. Всеки квадрат може да бъде вписан в окръжност, чийто център е центърът на квадрата. Ако четириъгълникът е правоъгълник със страни и и диагонал , тогава теоремата на Птолемей се свежда до Питагоровата теорема: . В този случай центърът на окръжността съвпада с точката на пресичане на диагоналите. Отношението на диагонала към страната на правилен петоъгълник, вписан в окръжност, е равно на златното сечение :
5. Страна на десетоъгълник
Ако сега диаметърът се разполовява по , така че и са страни c на вписан десетоъгълник, теоремата на Птолемей може да се приложи отново – този път към вписан четириъгълник с диагонал като един от диагоналите му:
където е златното сечение. По аналогичен начин Proposition 9 в Книга XIII от Елементите на Евклид се доказва чрез подобни триъгълници, че дължината (страната на десетоъгълника) дели радиуса в „средно и екстремно съотношение“. откъдето страната на вписания десетоъгълник се получава като диаметър на окръжността. Теоремата на Питагор, приложена към правоъгълен триъгълник AFD, дава като диаметър, а – страната на петоъгълника,Интересна статия за построяването на правилен петоъгълник и определянето на дължината на страната може да бъде намерена на следния адрес: след това се изчислява като
Както пише Коперник (следвайки Птолемей),
„Като е даден диаметърът на окръжността, са дадени и страните на триъгълника, четириъгълника, петоъгълника, шестоъгълника и десетоъгълника, които същата окръжност описва.“De Revolutionibus Orbium Coelestium: Liber Primus: Theorema Primum
Източници
Категория:Планиметрия