Теоремата на Тейлър е теорема от математическия анализ, наречена на на английския математик Брук Тейлър. Теоремата дава математическото основание за приближено пресмятане на функция в околност на точка чрез многочлен, чиито коефициенти зависят само от производните на функцията в тази точка. Без да дава формално описание на теоремата, астрономът Джеймс Грегъри я използва в трудовете си 41 години по-рано, така че заслуга за откриването ѝ може да бъде дадена и на него.

Теоремата за един параметър Най-простият пример за теоремата е апроксимацията на експоненциалната функция ex когато х клони към 0. А именно

Формалното изказване на тази теорема е: Ако n ≥ 0 е цяло число и f е функция n пъти диференцируема в отворения интервал (a, x), тогава

където Rn е остатъчен член, зависещ от x, който клони към 0, когато x клони към a.

Остатъчния член може да се представи в няколко форми.

При формата на Лагранж се твърди, че съществува число ξ между a и x, такова че

Така се вижда, че теоремата на Тейлър е следствие на теоремата за крайните нараствания (и точно теоремата за крайните нараствания се използва за доказването на Тейлър с остатъчен член във вид на Лагранж)

Друга форма за остатъчния член е форма на Коши

където

Тук той е следствие на фундаменталната теорема на анализа.

За някои функции може да се покаже че остатъчният член клони към 0, когато n клони към ∞. Те могат да се изразят с ред на Тейлър в околоност на a и се наричат аналитични функции.

Трета форма е формата на Пеано:

, където x клони към x0, а o е така наречената, нотация на малкото о

Четвъртата форма за остатъчния член е интегралната форма. За комплексни функции, диференцируеми в окръжност C около a изразът

важи в C

Теоремата за няколко параметъра Теоремата на Тейлър може да бъде генерализирана за няколко параметъра по следния начин. Нека Б e многообразие от тип сфера около точка a, в N-мерното пространство, а f е функция с реални стойности, дефинирана в отворената околност и имаща n+1 частни производни във всяка точка. Теоремата твърди, че за всяко ,

където сумата е за мултииндекса α.

Остатъчният член трябва да задоволява неравенството

за всички α където |α|=n+1.

Категория:Математически анализ