Едно естествено число се нарича квадратичен остатък по модул ако
Свойства Квадратични остатъци по модул съставно число Въпросът затова дали едно число е квадратичен остатък по модул за съставни може да се сведе до частния случай за прости , както твърди следната теорема:
Теорема: Нека и са взаимнопрости, a
представлява разлагането на на прости множители. Конгруенцията
има решение тогава и само тогава, когато е е квадратичен остатък по модул и е изпълнено поне едно от условията: или и или и
Квадратични остатъци по модул просто число За частния случай на конгруенции по модул просто число е възприето следното обозначение:
Дефинция: Нека е просто число и . Функцията със стойности: ако е квадратичен остатък по модул и в противен случай, се нарича символ на Льожандър.
Могат да се докажат следните правила за смятане със символа на Льожандър:
Критерий на Ойлер:
Второ правило за допълнението:
Квадратичен закон за реципрочност:
. Забележка: Последното правило показва, че квадратичните остатъци по модул просто число са точно толкова колкото и неостатъците.
Категория:Теория на числата