В математиката и по-специално в теорията на мярката, -алгебра (или сигма-алгебра) върху едно множество представлява непразна система от подмножества на , която е затворена откъм образуване на комплементи и изброими обединения на своите елементи. Наредената двойка се нарича измеримо пространство.
Дефиниция Нека е множество. Множеството , елементите, на което са подмножества на , се нарича -алгебра, ако са изпълнени следните три условия:
1.
2. за всяко множество (затвореност откъм образуване на комплементарни множества)
3. за всяка редица от елементи на множеството е също елемент на (затвореност откъм образуване на изброими обединения).
Непосредствени следствия от дефинцията От точки 1 и 2 следва, че , а от 2, 3 и правилото на де Морган следва: , т.е. е затворена и откъм образуване на изброими сечения.
Свойства Ако e фамилия от -алгебри, то тогава нейното сечение
е отново -алгебра. Ако e -алгебра върху и е подмножество на , то тогава рестрикцията
е -алгебра върху Y.
Породена -алгебра Нека бъде едно произволно множество от подмножества на дадено множество . Тогава чрез може да се формира специална -алгебра, наречена -алгебра породена от . Бележи се със и се дефинира по следния начин : Нека бележи фамилията от -алгебри върху и нека , т.е. представлява фамилия от всички -алгебри, които съдържат като подмножество. Тогава сечението на тези сигма-алгебри
е -алгебра. Тя е най-малката -алгебра, на която е подмножество.
Борелова сигма-алгебра Нека обозначава системата от отворените подмножества на . Тогава
се нарича борелова -алгебра върху . Елементите на се наричат борелови множества.
Примери Най-малката -алгебра e множеството от подмножвества {} на , а най-голямата е булеанът . e сигма-алгебра върху . В контекста на теорията на вероятностите, системата от подмножества на пространството на елементарните събития представлява -алгебра, която се нарича още алгебра на събитията. Елементите на се наричат събития и в случай, че е дадена вероятностна мярка P върху , наредената тройка се нарича вероятностно пространство. Примери за генериране на сигма-алгебра За и следва .
Външни препратки Чернова Н.: Теория вероятностей, 1 курс ЭФ, отделение экономики, § 1.
Литература
Сазонов В.: Алебра множеств в Математическая энциклопедия, том 1 (с допълнителна литература)
Floret, K.: Maß- und Integrationstheorie, Teubner Srivastava S.: A Course on Borel Sets, Springer, Berlin, 1998, ISBN 0-387-98412-7 Elstrodt J.: Maß- und Integrationstheorie, Springer, 2009, ISBN 3-540-89727-5 Окстоби Дж.: Мера и категория, Мир, 1974 Артамонов В.А. и др.: Общая алгебра, том 2, Москва, 1991
Категория:Теория на вероятностите Категория:Теория на мярката