Преобразуване на Фурие разлага функция във времето (сигнал) на честотите, които я съставляват. В началото се дефинира за абсолютно интегрируеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.
Преобразуване на Фурие Нека е функция с период , която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала . С означаваме банаховото пространство от функции , за които е изпълнено
Преобразуването на Фурие се дефинира чрез интеграла . Комплексното число се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на .
Преобразуване на Фурие за n-мерно пространство Нека е функция от банаховото пространство , което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху . Преобразуването на Фурие се дефинира чрез интеграла .
Ако разглеждаме функциите от хилбертовото пространство , т.е. всички фунцкии, за които , можем да дефинираме Преобразуването на Фурие като линеен оператор , за който е изпълнено следното , .
Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за Преобразуване на Фурие, дефинирано в .
Преобразуване на Фурие за обобщени функции Нека , а е обобщена функция. Тогава преобразуването на Фурие се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството .
Свойства на коефициентите на Фурие Коефициентите на Фурие имат следните свойства: за ; за ; за ; Ако означим , то (транслация се преобразува в модулация); Ако означим , то (модулация се преобразува в транслация); (конволюция се преобразува в произведение); Оценка на коефициентите:
Непрекъснатост Ако и , то клони равномерно към за всяко n.
Сходимост Сходимостта се изразява чрез лемата на Риман-Лебег.
За всяка функция е изпълнено .
Категория:Математически анализ