Супремум-нормата е понятие от функционалният анализ. Тя се използва за нормиране на пространства от ограничени функции. Във векторното пространство на ограничените функции
изобразяващи непразно множество в нормираното пространство супремум-нормата се дефинира чрез .Alt, 2006, стр. 37 По-рядко използвано наименование е норма на Чебишев.
Свойства
Пространството на всички (ограничени и неограничени) функции не може да бъде нормирано с помощта на супремум-нормата. За него обаче може да се дефинира топология такава, че топологията на неговото подпространство да съвпада с индуцираната от супремум-нормата топология.
Ако е компактно метрично пространство, то пространството на непрекъснатите функции е подпространство на и може да бъде нормирано чрез максимум-нормата:Dobrowski, 2006, стр. 31-32 , която в частност съвпада със супремум-нормата. понякога се използва и за означаване на супремум-нормата. Че пространството може да бъде нормирано чрез максимум-нормата, следва от обобщението на теоремата на Вайерщрас гласящо, че непрекъснатите образи на компактни пространства са компактни.Dobrowski, 2006, стр. 14 Нормираното пространство е банахово.
Функцията
е метрика в пространството на всички ограничени функции (и очевидно на всички негови подпространства) с дадена дефиниционна област. Редицата { fn: n = 1, 2, 3, ... } клони равномерно към функцията f тогава и само тогава, когато
Примери Следващите три нормирани чрез супремум-нормата векторни пространства от редици са банахови.Werner, 2005, стр. 8-9 Пространсвото на клонящите към 0 реално- или комплекснозначни редици: (Тук е или .) Пространсвото на сходящите редици: Пространсвото на ограничените редици: Последното пространство има връзка с пространствата на сумируемите редици:
нормирани чрез
за . В сила е Werner, 2005, стр. 37 За обобщаване на този резултат за интегруеми функции е необходимо въвеждането на понятието съществена супремум-нормаНа англ. essential supremum norm.
Пространството на функциите с непрекъсната първа производна и дефиниционна област затворения интервал нормирано чрез супремум-нормата не е банахово, но пространството на функциите с непрекъсната -та производна нормирано чрез
е банахово.Werner, 2005, стр. 6-7 Вижте също Пространство Lp Равномерна сходимост Литература Mathieu M., Funktionalanalysis, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1998, ISBN 3-8274-0153-4 Dubrowski M., Angewandte Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-25395-5 Alt H., Lineare Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2006, ISBN 3-540-34186-2 Werner D., Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 2005, ISBN 3-540-21381-3 Бележки
Категория:Функционален анализ