Верижна дроб или продължаваща дроб в математиката в общия случай означава израз от вида или в обикновения случай при
където е цяло число , а останалите и са положителни цели числа за . Числата и се наричат елементи на верижната дроб.Regular Continued Fraction, Wolfram Mathematics. Дробите и се наричат частични дроби, се нарича -ти частичен числител и се нарича -ти частичен знаменател.В част от литературата и често се разменят, така че частичните знаменатели са . Частичните числители и частичните знаменатели също се наричат елементи на продължаващата дроб (след Оскар Перон, 1975).
Всяко реално число може да бъде представено във вид на верижна дроб (крайна или безкрайна). Числото представлява крайна верижна дроб тогава и само тогава, когато то е рационално. Безкрайната верижна дроб се нарича още непрекъсната дроб.
Главната (но не единствена) полза от верижните дроби се състои в това, че те позволяват да се намерят добри приближения на реални числа във вид на обикновени дроби. Верижните дроби се използват широко в теорията на числата и изчислителната математика. Използват се също така във физиката, небесната механика, техниката и други сфери. нотация
Обозначаване Нотации Използват се различни нотации за обозначаване на верижни дроби.
Съкратеното обозначаване на обща верижна дроб е
Въз основа на символите за сума и произведение , Гаус също въвежда следната нотация за това:
Правилната верижна дроб често се записва по следния начин: Освен посочените тук изписвания има и (например в „John Horton Conway, Richard Kenneth Guy – The book of numbers. Springer, 1996“), (z. B. im Buch von Niven/Zuckerman) както и (z. B. в „Donald Knuth – The Art of Computer Programming. (Band 2), Addison-Wesley, 1997“).
тук само е посочен отделно, защото е от , но следващите са винаги само от .
Обозначаването на крайни непрекъснати дроби е съответно
Представяне като композиция от образи Продължаващата дроб може също да се представи като композиция от образи . Това дава по-формално определение от даденото по-рано.
За да се направи това, задава се и се взема
Дефиницията на безкрайни последователни дроби се прави чрез разглеждане на граничните стойности в раздела Безкрайни последователни дроби.
Образуване Верижната дроб се образува чрез итеративен процес на представяне на число като сбор от неговата цяла част и реципрочна стойност на друго число, след което записването на това друго число като сума от неговата цяла част и друга реципрочна стойност, и така нататък. В крайна верижна дроб (или прекратена продължителна дроб) итерацията/рекурсията се прекратява след ограничен брой стъпки чрез използване на цяло число вместо друга верижна дроб. При безкрайната верижна дроб този процес продължава и тя е безкраен израз. И в двата случая всички цели числа в редицата, различни от първото, трябва да са положителни.
Всяко реално число може да бъде представено чрез (крайна или безкрайна, периодична или непериодична) верижна дроб , където
долните скобки обозначават цялата част на числото .
За рационално число това разширение завършва, когато достигне нула за някои . В този случай е представено от крайна продължителна дроб . Един ефективен алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в непрекъсната дроб е алгоритъмът на Евклид. Представянето на рационално число като непрекъсната дроб е двусмислено: ако алгоритъмът, даден тук, дава непрекъснатата дроб , тогава верижната дроб съответства на същото число.
Като пример се разглежда рационалното число 415/93, което е около 4,4624. Като първо приближение се започва с 4, което е цяло число; 415/93 = 4 + 43/93. Дробната част е реципрочната на 93/43, което е около 2,1628. Използва се цялата част 2 като приближение за реципрочната стойност, за да се получи второ приближение на 4 + 1/2 = 4,5. Сега 93/43 = 2 + 7/43; останалата дробна част 7/43 е реципрочната стойност на 43/7, а 43/7 е около 6,1429. Използва се 6 като приближение за да се получи 2 + 1/6 като приближение за 93/43 и , около 4,4615, като трето приближение. Освен това, 43/7 = 6 + 1/7. И накрая, дробната част, 1/7, е реципрочната на 7, така че нейното приближение в тази схема 7 е точно (7/1 = 7 + 0/1) и дава точния израз за 415/93.
Подходящи дроби -та подходяща дроб за верижната дроб се нарича крайна продължителна дроб , чиято стойност е някакво рационално число . Подходящите дроби с четни номера образуват нарастваща последователност, чиято граница е . По същия начин подходящите дроби с нечетни номера образуват намаляваща последователност, чиято граница също е . По този начин стойността на верижната дроб винаги е между стойностите на съседни подходящи дроби.
Ойлер е извел следните рекурентни формули за изчисляване на числителите и знаменателите на подходящи дроби:
По този начин величините и са многочлени от , наречени континуантиКонтинуанта е определен многочлен от няколко променливи, свързани с верижни дроби.:
Последователностите както на числителите , така и на знаменателите на подходящи дроби са строго нарастващи.
Числителите и знаменателите на съседни подходящи дроби са свързани с отношението
От тук се вижда, че подходящите дроби винаги са несъкратими. Разделя се равенство (1) на и то добива вида
От това следва, че
Изображението показва как подходящи дроби за златното сечение се доближават до него с увеличаване на номера на дробта. Дробите с нечетни номера се доближават до златното сечение отгоре, дробите с четни номера се доближават до него отдолу.
Източници и бележки
Категория:Дроби Категория:Математически анализ Категория:Теория на числата