В математиката уравнението представлява два математически израза, свързани помежду си със знак за равенство. То може да съдържа една или повече променливи. Решаването на уравнението се състои в намирането на стойностите на променливите, за които равенството е изпълнено. Променливите се наричат също така неизвестни, а стойностите, за които равенството е изпълнено – решения на уравнението. В различните езици значението на думата може да има различни значения. За разлика от тъждеството, което е изпълнено за всички стойности на променливата, уравнението е равенство, което може да е изпълнено само за някои стойности на променливата.
Съществува голямо разнообразие от уравнения, които намират приложение в различни области на математиката, като методите за тяхното решаване се различават в зависимост от вида на уравнението.
В алгебрата се разглеждат две основни групи уравнения – полиномните уравнения и системите линейните уравнения. Полиномните уравнения имат общия вид P(х) = 0, където P е полиномна функция, а системите линейни уравнения – a(x) + b = 0, където a линейно изображение, а b и неизвестното x са вектори. За решаването на алгебричните уравнения се използват алгоритмични или геометрични методи, базирани на линейната алгебра или математическия анализ.
Алгебрата изследва и диофантовите уравнения, при които коефициентите и решенията са цели числа, като при тях се използват различни методи, основани на аритметиката. Тези уравнения обикновено са трудни и най-често при тях се търси само дали съществуват решения и какъв е техният брой.
В геометрията уравненията се използват за описване на различни геометрични обекти. Тук целта не е намирането на решения, а демонстрирането и изследването на определени геометрични свойства. В тази област приложение намират две големи групи уравнения – декартови и параметрични.
Математическият анализ изследва уравнения от вида f(x) = 0, където f е функция с определени свойства, като непрекъснатост и диференцируемост. Методите за решаване на тези уравнения дават възможност за конструиране на сходящи поредици от решения, като целта е да се достигне до възможно най-точното решение.
Динамичните системи се дефинират чрез уравнения, чиито решения са редици или функции на една или повече променливи. В този контекст се разглеждат два основни въпроса – за началното състояние и за асимптотичното поведение. За всяко допустимо начално състояние, например стойността на редицата или функцията в нулата, уравнението допуска определено единствено решение. Чувствителността на решенията към малки промени в началното състояние е една от основните задачи. Асимптотичното поведение на дадено решение е формата на решението при стойности на променливата, клонящи към минус или плюс безкрайност. Ако решението не е разходящо, то може да клони към дадена стойност, да има цикличен характер или да има хаотично поведение.
Общи сведения Неизвестни, решения, еквивалентни преобразувания + Следният пример е взет от книгата „Китаб ал-джабр уал-мукабала“ на Мохамед ал-Хорезми, един от основоположниците на алгебратаЕдин човек умрял и оставил поравно наследството си на четиримата си синове, като направил дарение на един човек, равно на дела на един от синовете си, а на друг човек дарил четвърт от разликата между една трета от наследството и първото дарение.
Търси се делът от наследството, който се пада на всеки син. Ако този неизвестен дял се означи с x, задачата се преобразува в следното уравнение:
в което числото 1 вдясно обозначава цялото наследство.
Равенството (1) е математически модел на описаната задача. За да се получи отговорът, трябва да се определи стойността на неизвестното x, за която равенството е изпълнено; тази стойност на неизвестното се нарича решение или корен на уравнението. Решаването на уравнението, тоест намирането на стойността на неизвестното, става с помощта на еквивалентни преобразувания
Две уравнения се наричат равносилни (еквивалентни), ако имат едно и също дефиниционно множество и едни и същи корени. Основни еквивалентни преобразувания: Размяна на двете страни на равенството. Събиране на двете страни на равенството с един и същи израз, който не стеснява дефиниционното множество. Изваждане от двете страни на равенството на един и същи израз, който не стеснява дефиниционното множество. Умножаване или разделяне на двете страни на равенството с един и същи израз, който е различен от нула и не стеснява дефиниционното множество. Степенуване на двете страни на равенството с един и същи степенен показател, който е различен от нула и не стеснява дефиниционното множество.
Решаването на уравнението от примера може да стане по следния начин: Опростяване на израза вляво:
Изваждане на 1 / 12 от двете страни на равенството:
Умножаване с 4 / 19 на двете страни на равенството:
Намереното решение означава, че всеки от синовете е получил 11 / 57 от наследството.
Параметри Параметри в уравненията са променливи, чиито стойности се смятат за известни (дадени). Уравнения, които освен неизвестно съдържат и параметър, се наричат параметрични уравнения. Използвани са за пръв път през XVI век от Франсоа Виет като средство за общо решаване на цели групи уравнения, като тези в следния пример:
+ Пример за параметрично уравнениеТърси се броят на реалните корени на следните уравнения:
Задачата може да се реши, като се въведе функцията f(x), която съпоставя на всяко x стойността x2. Нейната графика е квадратна парабола, показана в синьо на схемата вдясно. Функцията g1(x) съпоставя на x стойността 2.x +1 (червената права). Корените на уравнение (1) са абсцисите на пресечните точки на параболата и червената права, като графичното представяне показва, че съществуват две решения, съответстващи на двете пресечни точки. За решаването на уравнение (2) се въвежда функцията g-2(x), която съпоставя на x стойността 2.x -2 (виолетовата права). Тя не пресича параболата, което означава, че уравнението няма решение. В последния случай се въвежда функцията g-1(x), която съпоставя на x стойността 2.x -1 (зелената права). Нейната графика е права, успоредна на първите две, която има една обща точка с параболата и съответно третото уравнение има едно решение.
Задачата може да се реши по по-общ начин, като в уравненията се въведе параметър a, който може да заема произволни стойности, а трите уравнения се разглеждат като частни случаи при стойности на параметъра a 1, -2 и -1: <
Уравнение (4) се нарича параметрично уравнение, а променливата a – параметър.
Алгебра Полиномни уравнения
Основна категория уравнения, изследвани от алгебрата, са полиномните уравнения, които имат общия вид:
където an ≠ 0, а стойността n се нарича степен на уравнението.
Наличието на добре разработени методи за решаването на полиномни уравнения дава възможност за решаването чрез подходяща замяна на неизвестното и на други групи уравнения. Например, уравнението e2x – (ea + eb)ex + ea+b = 0 може да бъде трансформирано в полиномно уравнение от втора степен чрез полагането X = ex.
Решаването на полиномните уравнения от първите няколко степени е сравнително просто. При уравненията от първа степен (линейни уравнения) решението е:
При уравненията от втора степен (квадратни уравнения) корените също може да се получат в явен вид, когато коефициентите и корените са реални числа:
където условието за реалност на корените е стойността под квадратния корен, наричана дискриминанта, да бъде по-голяма или равна на нула.
Решаването на полиномните уравнения от трета степен (кубични уравнения) е по-сложна задача. Италианските математици през Ренесанса установяват, че получаването на общо решение изисква добавянето на нов вид числа – имагинерните. Това откритие дава възможност за намирането в явен вид на общото решение на уравненията от трета и четвърта степен.
По-късно е изведена и основната теорема на алгебрата, според която всяко алгебрично уравнение от положителна степен с реални или комплексни коефициенти има поне един комплексен корен. Макар че тази теорема гарантира съществуването на решение, тя не предлага метод за намирането му. Теоремата на Руфини—Абел дава обяснение на този факт, като показва, че общото алгебрично уравнение от пета или по-висока е нерешимо в радикали. Този извод, чието пълно доказателство е намерено от Нилс Абел, е допълнен от Еварист Галоа, който намира необходимо и достатъчно условие за решимостта на алгебрично уравнение с дадени коефициенти. В историята на математиката основната теорема на алгебрата и теоремата на Руфини—Абел образуват популярната през XIX век теория на уравненията, която днес не се смята за самостоятелна област на математиката.
Системи линейни уравнения
Друга група уравнения, изследвани от алгебрата, са векторните линейни уравнения от вида:
където a е линейно изображение на векторното пространство E във векторното пространство F, b е вектор от пространството F, а x е променлива, дефинирана в пространството E.
Ако пространствата E и F са с крайна размерност, съответно n и m, изборът на база на E и F дава възможност изображението a да се представи под формата на матрица (ajk), x – под формата на вектор стълб с n координати (xk) и b – като вектор стълб с m координати (bj). Така векторното линейно уравнение може да бъде записано като система от линейни уравнения:
Системите линейни уравнения намират широко приложение в науката и техниката, често в методи за приблизително решаване на диференциални уравнения, поради което съществуват множество методи за тяхното решаване. В случая, когато размерностите n и m са равни и детерминантата на матрицата a е различна от нула, решението на системата може да бъде получено в явен вид чрез метода на Крамер. Този начин за решаване на системите е неефективен и в практиката по-често се използват итерационни алгоритми, като метода на Гаус. Неговата цел е да отдели неизвестните, като чрез поредица еквивалентни преобразувания получи линейни уравнения с едно неизвестно. Методът на Гаус е известен още през древността. Негов вариант е описан в глава 8 на китайската математическа книга от II век пр.н.е. „Дзиуджан Суаншу“.
Геометрична интерпретация на линейните уравнения
Геометричната интерпретация на системите линейни уравнения дава допълнителна информация за техния характер. Изображението на линейния оператор a образува векторно подпространство, подобно на равнината в триизмерното пространство. Ядрото на a (векторите от дефиниционното множество, чието изображение е нулевият вектор) също е подпространство. Тези резултати показват, че множестовото от решенията образува афинно пространство.
Този подход дава възможност за създаване на алгоритми за решение, които отчитат характерните особености на a. В някои частни случаи съществуват методи, позволяващи по-бързото намиране на решение, отколкото чрез метода на Гаус. Например, възможно е да не се търси пряко решение на уравнението a.x + b = 0, а да се отговори на друг въпрос, привидно по-сложен – да се намери екстремума на f(x), дефинирана като:
Този екстремум е и решението на системата линейни уравнения. За да се разбере методът на решение, най-просто е да се разгледа случаят с две измерения – графиката на f има овална форма, както е показано на схемата вляво. Ако се тръгне от произволна точка x0 и се следва кривата с най-голям наклон (показана като червена парабола на схемата вляво и като червена отсечка на схемата вдясно), най-високата точка се означава като x1. От точка x1 отново се следва кривата с най-голям наклон, показана в зелено на схемите. Този алгоритъм се нарича метод на най-бързото изкачване. Ако вместо да се следва точно пътя на най-големия наклон, се избере посока, ортогонална на предходните посоки, методът дава решение за максимум n стъпки, където n е броят на измеренията на E.
Геометрия Аналитична геометрия