Комплексното число е число, което може да бъде представено под формата , където и са реални числа, а е имагинерната единица, която е решение на уравнението . В този израз е реалната част, а е имагинерната част на комплексното число.
Комплексните числа разширяват концепцията за едноизмерна числова линия до двуизмерна комплексна равнина, като двете координатни оси се използват като числови линии съответно за реалната и имагинерната част. Комплексното число може да се идентифицира с точката в комплексната равнина. Комплексно число, чиято реална част е нула, се нарича чисто имагинерно число, а комплексно число с нулева имагинерна част е реално число. По този начин комплексните числа включват всички реални числа, но разширяват тяхното множество, за да бъдат решавани задачи, които не могат да се решат само с реални числа.
Извън използването им в математиката, комплексните числа имат практически приложения в области като физиката, химията, биологията, икономиката, електротехниката и статистиката. Те са използвани за пръв път от италианския математик Джироламо Кардано през XVI век в опитите му да търси решения на кубични уравнения.
Общи сведения Комплексните числа могат да се събират, изваждат, умножават и делят също като реалните. Освен това обаче те имат няколко допълнителни свойства, които често правят работата с комплексни числа по-удобна.
Съгласно фундаменталната теорема на алгебрата, всяко алгебрично уравнение с реални или комплексни коефициенти и една променлива има решение в множеството на комплексните числа.
Дефиниция Полето на комплексните числа, , може да бъде дефинирано в от наредени двойки реални числа чрез няколко аксиоми: събиране: – този закон е комутативен, асоциативен и притежава неутрален елемент (0,0) и всеки елемент има симетричен елемент, което дефинира абелевата група умножение: – операцията е комутативна и асоциативна. Съществува едниствен единичен елемент , а елементът има свойството , поради което числата и се наричат реална и имагинерна единица умножение с реално число: – външен дистрибутивен и асоциативен мултипликативен закон.
Комплексно число е число от вида , където и са реални числа и е имагинерната единица, за която . Например, е комплексно число.
Реалното число се нарича реална част на комплексното число , а реалното число е негова имагинерна част. Реалната част на дадено комплексно число се означава с или , а имагинерната – с или . Например,
Така, изразено чрез своите реална и имагинерна част, комплексното число е равно на .
Всяко реално число може да се разглежда като комплексно число , чиято имагинерна част е 0, а чисто имагинерните числа са комплексни числа с нулева реална част. Числата с отрицателна имагинерна част обикновено се записват като с , вместо като – например вместо .
Множеството на комплексните числа се означава с , или Формално то се дефинира като множеството на всички наредени двойки реални числа, за които са въведени операции събиране и умножение по следните правила:
С тези две операции множеството на комплексните числа образува поле. Множеството на числата от вида (а,0) заедно с така зададените операции е изоморфно на множеството на реалните числа, поради което вместо (a,0) се записва просто a. Имагинерната единица i отговаря на двойката (0,1). Непосредствено се проверява, че
.
По-често използваният алгебричен вид е еквивалентен на формалната дефиниция, както се вижда от равенството:
Геометрична интерпретация в правоъгълни координати
Комплексните числа могат да се представят като точки или вектори в равнина, снабдена с декартова координатна система, която още се нарича комплексна равнина. В нея векторът z = a + ib има за координати реалната си част a и имагинерната си част b. Множеството от точки, отговарящи на реалните числа, се нарича реална ос, а множеството, отговарящо на чисто имагинерните числа, – имагнерна ос. Дължината на вектора се нарича модул или абсолютна стойност на комплексното число и се отбелязва с |z|, а ориентираният ъгъл между реалната ос и вектора – аргумент на числото и се отбелязва с Arg . Ако числото z = a + ib има модул r и аргумент φ, то следващите формули дават връзка между координатите, модула и аргумента:
Използвайки формулата на Ойлер, можем да представим комплексното число от така наречения тригонометричен вид (тригонометрична форма на запис) в експоненциална форма:
Когато числата са записани в експоненциална форма, формулите за умножение и деление са изключително прости:
, и
Операциите с комплексните числа имат геометрична интерпретация в комплексната равнина. Събирането и изваждането на комплексни числа е еквивалентно на събирането и изваждането на вектори, а умножението е комбинация от въртене и хомотетия. Умножаването на числото с числото w = reiφ е еквивалентно на въртене на вектора на ъгъл φ и умножаване на дължината му с r. Така например умножаването с i е еквивалентно на въртене на 90 градуса (π/2 радиана). Тогава геометричната интерпретация на i2= −1 е, че две последователни въртения на 90 градуса са еквивалентни на едно въртене на 180 градуса (π радиана).
Геометрична интерпретация в полярни координати
Освен в правоъгълни координати, всяка точка P в комплексната равнина може да се дефинира и чрез полярни координати – чрез разстоянието до нея от началото на координатната система O (точката с координати ) и ъгъла между положителната реална ос и отсечката OP в посока, обратна на движението на часовниковата стрелка.
Абсолютната стойност (наричана също модул) на комплексното число е:
Ако е реално число (т.е. ), тогава . В общия случай от Питагоровата теорема следва, че е разстоянието от точката P, представляваща комплексното число , до началото на координатната система. Квадратът на абсолютната стойност е:
където е комплексно спрегнатото на .
Аргументът на (наричан в много приложения на комплексните числа „фаза“) е ъгълът между радиус-вектора OP и положителната реална ос, който се обозначава с . Както и абсолютната стойност, аргументът може да се получи от правоъгълната форма :
Стойността на тук е в радиани. Тя може да се увеличава с всяко целочислено кратно на без да променя стойността на комплексното число. По тази причина аргументът понякога е разглеждан като многозначна функция. По-често, както в описаната дефиниция, се използват само стойностите в интервала (−π,π]. Полярният ъгъл на комплексното число 0 е неопределен, но често се използва произволно избраната стойност 0.
Стойността на е равна на резултата от използваната в много езици за програмиране функция atan2: .
Двете променливи и дават възможност за представяне на комплексните числа в полярна форма, като модулът и аргументът напълно определят тяхното положение в равнината. Получаването на формата в правоъгълни координати от полярната форма може да стане чрез формулата, наричана тригонометрична форма:
С използване на Формулата на Ойлер тя може да бъде записана и като:
записвана понякога и чрез функцията cis:
В ъгловата нотация, често използвана в електрониката за представяне на комплексен вектор с амплитуда и фаза , формулата се записва като:
Релации Две комплексни числа са равни тогава и само тогава, когато техните реални и имагинерни части са равни:
За разлика от реалните числа, комплексните не могат да бъдат подредени по големина и при тях не могат да се използват неравенства. Тъй като са разположени в двуизмерна равнина, в множеството на комплексните числа няма естествено линейно подреждане. Формално, комплексните числа не могат да имат структурата на подредено поле, тъй като в подредените полета всеки квадрат е не по-малък от , а .
Елементарни действия Абсолютна стойност Както бе дефинирана по-горе, абсолютната стойност, също наричана модул или норма, на числото се отбелязва с и представлява дължината на вектора, съответстващ на в комплексната равнина. Ако числото е написано в тригонометричен вид , абсолютната стойност на е равна на r, докато ако е написано в алгебричен вид z = a + ib, тя се изразява чрез формулата:
Абсолютната стойност има следните свойства:
тогава и само тогава, когато
От тях например следва, че |z/w| = ||/|w|. С помощта на абсолютната стойност може да се дефинира функцията разстояние между комплексни числа d(,w) = |-w|. Геометрично това представлява дължината на отсечката, свързваща точките и w в комплексната равнина. С тази функция множеството на комплексните числа се превръща в метрично пространство, което позволява да се дефинират понятия като граница на функция и непрекъсната функция. В това метрично пространство операциите събиране, изваждане, умножение и деление на комплекни числа са непрекъснати.
Комплексно спрегнато
Тъй като в полето на комплексните числа съществува симетричен елемент , комплексно спрегнато, или конюговано, на комплексното число по определение е числото , което се означава с или . Формално, за всяко комплексно число :
Както се вижда от илюстрацията, е симетрично на спрямо реалната ос. Комплексно спрегнатото число има следните свойства:
тогава и само тогава, когато е реално
ако не е нула.
Последната формула е дава начин за пресмятане на реципрочното на комплексно число, записано в алгебричен вид.
Реалната и имагинерната част на комплексното число могат да бъдат извлечени чрез използването на комплексното спрегнато:
Събиране и изваждане
Комплексните числа се събират чрез събиране на техните реални и имагинерни части:
По подобен начин изваждането се дефинира като:
Като се използва визуализацията на комплексните числа в комплексната равнина, събирането има следната геометрична интерпретация: сборът на две комплексни числа A и B, разглеждани като точки в комплексната равнина, е точката X получена чрез построяването на успоредник, три от ъглите на който са O, A и B. По същия начин X е точката, за която триъгълниците с върхове O, A, B и X, B, A са еднакви.
Умножение и деление Умножението на две комплексни числа се дефинира чрез следната формула:
То се извършва аналогично на умножението на реалните числа, отчитайки особеностите при повдигане на квадрат на имагинерната единица:
Дефиницията на умножение на комплексни числа следва естествено от това фундаментално качество на имагинерната единица. Ако се разглежда като число, като означава пъти , правилото за умножение е идентично на обичайните правила за умножение на два сбора на две събираеми:
Делението на две комплексни числа се дефинира чрез умножението, дефинирано по-горе, и чрез делението на реални числа. Когато поне едно от и е ненулево, имаме:
Делението може да се дефинира по този начин, заради следното наблюдение:
Както е показано по-горе, е комплексно спрегнатото на знаменателя . Поне едно от реалната част и имагинерната част на знаменателя трябва да бъде ненулево, за да бъде делението определено.
Реципрочната стойност на ненулевото комплексно число се получава от:
В полярна форма формулите за умножение и деление на комплексни числа са по-прости. При дадени две комплексни числа и от известните тригонометрични равенства
следва, че
С други думи, абсолютните стойности се умножават, а аргументите се събират, за да се получи полярната форма на произведението. Например, умножението с съответства на четвърт завъртане срещу посоката на движение на часовниковата стрелка, от което следва и . Илюстрацията вдясно показва умножението
Тъй като реалната и имагинерната част на са равни, аргументът на това число е 45 градуса или π/4 (в радиани). От друга страна това е и сборът от ъглите в началото на координатната система на червения и синия триъгълник – съответно arctan(1/3) и arctan(1/2). Така се получава формулата
Тъй като функцията аркустангенс може да се изчислява много ефективно, подобни формули се използват за апроксимации с голяма точност на числото π.
Аналогично делението се получава от
Степенуване и коренуване Формулата на Моавър позволява да се степенува комплексно число, представено в тригонометричен вид:
където r е модулът, а φ – аргументът на комплексното число. В съвременната символика тя е публикувана от Ойлер през 1722 г.