В комбинаториката, комбинацията е начин за избиране на елементи от множество. Избирането може да стане с повторение или без повторение, т.е. с връщане на избраните елементи в началното множесто или с изваждането им от него. При втория случай, а именно без повторение, комбинация на n елемента от k-ти клас, се нарича кое да е подмножество от k, т.е. k ≤ n различни елемента избрани измежду n дадени елемента, в което местата на избраните елементи е без значение.

Комбинации без повторение Броят на комбинациите без повторение на n елемента от k-ти клас се означава с или C(n,k) и е равен на биномния коефициент n над k:

Комбинациите на k елемента от множество с n елемента се отнасят до броя на всички възможни различни групи от по k елемента които могат да бъдат получени при произволно избиране без повторение.

Комбинации с повторение Тук се разглеждат всички възможни различни групи от по к елемента, ако след всяко избиране елементите се връщат обратно в началното множество n. В такъв случай броят на комбинациите с повторение на n елемента от k- ти клас се означава с и е равен на

където k е броят на повтарящите се елементи.

По-общо, комбинации от n неща, взети по групи от k всеки път, често биват наричани k комбинации от n неща и това е начин да се избере подмножество от k елемента от дадено множество с размер n. Съществуват точно начина това да бъде осъществено. Избирането на k посочени елемента от n елемента е еквивалентно на избирането на останалите n – k непосочени. Ако се обозначат непосочените елементи с s, то тогава тази симетрия може да бъде изразена чрез израза

и тогава k комбинации от n елемента могат да бъдат записвани като „(s, k) комбинации“. По този начин (s, k) – комбинация е начин за разделяне на n елемента в две групи с размер s и k.

Примери Пример 1 Да се пресметне колко различни групи от по трима души могат да бъдат образувани от дадена група състояща се от седем. Броят на възможните групи представлява броят на комбинациите на 7 елемента от 3-ти клас и се пресмята както следва:

Пример 2 В играта 6 от 49 за да се спечели джакпот (шестица), трябва числата от попълнен фиш да отговарят на изтеглените числа. Да се пресметне колко комбинации и фиша трябва да се попълнят, за да е сигурно, че ще се спечели джакпот. Броят на всички възможни комбинации от 6 числа от 1 до 49 може да се изчисли с израза ,

където n = 49 и k = 6, от където следва:

.

В последното уравнение, 49! представлява броят на начините, по които могат да бъдат наредени числата от 1 до 49, т.е. пермутациите на числото 49, които се пресмятат с помощта на факториел или 49! = 1 × 2 × 3 ×...× 49. В знаменателя първият член 6! представлява всички начини, по които шест числа могат да бъдат наредени, но поради факта, че местата на избраните елементи или в дадения случай редът на изтеглянето е без значение, се дели на това число. Вторият член представлява броят на възможните начини, по които могат да се комбинират останалите 49–6=43 числа след като от всичките са избрани и извадени 6, т.е. 43!. И така, съществуват 13 983 816 начина по които 6 числа могат да бъдат изтеглени от 49, което е и търсеният брой на комбинациите.

При обикновен запис и фишове с по 4 комбинации всеки, трябва да се попълнят 13983816:4 = 3 495 954 фиша. Ако се използват системи за пълно комбиниране и съкратено записване, броят на фишовете намалява. Броят на комбинациите в системите нараства с броя на числата: + Брой на числата и комбинациите в системите за пълно комбиниране от тото 6 от 49 Комбинации и печалби по групи. Системи за пълно комбиниране с изчислени брой комбинации и брой печалби в отделните групи на играта „Тото 2 - 4 от 49“, Български спортен тотализатор. Числа 7 8 9 10 11 12 Комбинации 7 28 84 210 462 924 Фишове 1 997 688 499 422 166 474 66 590 30 268 15 134 Числа 13 14 15 16 17 18 19 20Комбинации 1716300350058008 12 376 18 564 27 132 38 760 Фишове 8150 4657 2794 1747 1130 754 516 361 С фиша се означава една система за пълно комбиниране, а необходимите фишове се получават като се раздели броят на всички възможни комбинации на броя на комбинациите в системата. Ако от делението не се получава цяло число, прибавя се още един фиш (случаите са с наклонен шрифт).

Литература Брадистилов Г. Д. Висша математика, С. Техника, 1965 г. 36 – 38 с.

Източници

Вижте също Пермутация Вариация Комбинаторика

Категория:Математика