U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se historijski prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je , polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva , polje kompleksnih brojeva i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka . Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

Ekvivalentne definicije

Definicija 1

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

Definicija 2

Polje je komutativni prsten (, +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

Zatvorenost od za + i * , i (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F). + i * su asocijativne operacije , i . + i * su komutativne operacije , i . Vrijedi distributivnost operacije * prema + , . Postojanje neutralnog elementa za sabiranje takav da je , . Postojanje neutralnog elementa za množenje takav da je , . Postojanje inverza za sabiranje , takav da je . Postojanje inverza za množenje , , takav da je .

Uslov da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su (, +) i(, *) komutativne grupe (abelove grupe, i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a−1 jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju: −a = (−1) * a i općenitije −(a * b) = (−a) * b = a * (−b), kao i a * 0 = 0.

Primjeri

Kompleksni brojevi , s uobičajenim operacijama sabiranja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća podpolja: Racionalni brojevi | , gdje je skup cijelih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih podpolja.

Također pogledajte Prsten (matematika) Vektorski prostor

Kategorija:Algebarske strukture Kategorija:Apstraktna algebra