0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5.040 8 40.320 9 362.880 10 3.628.800 11 39.916.800 12 479.001.600 13 6.227.020.800 14 87.178.291.200 15 1.307.674.368.000 20 2.432.902.176.640.000 25 15.511.210.043.330.985.984.000.000 50 3,04140932... × 1064 70 1,19785717... × 10100 450 1,73336873... × 101.000 3.249 6,41233768... × 1010.000 25.206 1,205703438... × 10100.000 47.176 8,4485731495... × 10200.001 100.000 2,8242294079... × 10456.573 1.000.000 8,2639316883... × 105.565.708 9,99... × 10304 1 × 103.045657055180967... × 10307 Faktorijel je matematička funkcija kojom se izračunava proizvod prirodnih brojeva od 1 do nekog određenog prirodnog broja n, označeno kao n!. Ova funkcija se koristi u statistici, kao i u zakonima vjerovatnoće, te u kombinatorici.
Definicija Faktorijelska funkcija se najčešće definiše kao
ili rekurzivno kao
U obje definicije, uključuje se slučaj
zbog konvencije da je proizvod ni jednog broja 1. Ova konvencija je korisna zato što
rekurzivna relacija važi za ; dozvoljava jednostavno pisanje izraza za beskonačne polinome, npr. ; ova definicija mnoge identitete u kombinatorici čini važećim za nulte veličine. Specifično, broj kombinacija ili permutacija praznog skupa je, jednostavno, broj 1.
Primjena Najjednostavnija primjena faktorijela je u kombinatorici gdje se pomoću jednostavne formule binomnog koeficijenta može izračunati broj kombinacija brojeva sa količinom k u jednoj osnovnoj grupi n. Npr. broj kombinacija u lotu.
.
Primjenu nalazi i u tzv. Gama funkciji, Taylorovom redu itd.
Primjer
odnosno
po definiciji je:
dok negativni brojevi nemaju faktorijel.
Približno računanje faktorijela
Najveći faktorijel koji se može izračunati na običnim džepnim računarima je faktorijel broja 69. Faktorijel broja 70 ima više od 100 brojki, te se za svaki veći broj n može primijeniti Stirlingova formula za približno izračunavanje.
gdje je:
broj pi (približno 3,14) broj e (približno 2,71)
Dvostruki faktorijel n!! n!! označava u matematici dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih ili neparnih brojeva
na primjer:
odnosno
Primorijel Ako imamo prirodni broj tada je umnožak prostih brojeva koji ne premašuju .
Preciznije,
Također pogledajte
Alternativni faktorijel Digama funkcija Eksponencijalni faktorijel Faktorijelski prorodan broj Faktorijom Stirlingova aproksimacija Trailingove nule faktorijela Trougaoni broj, sumarni analog faktorijelu
Reference
Vanjski linkovi
Approximation formulas All about factorial notation n! The Dictionary of Large Numbers "Factorial Factoids" od Paula Niquettea Faktorijelski kalkulatori i algoritmi Factorial Calculator : iračunanje faktorijela do 200.000! "Factorial" od Ed Pegg, Jr. i Rob Morris, The Wolfram Demonstrations Project, 2007. Fast Factorial Functions (with source code in Java and C#)
Kategorija:Kombinatorika Kategorija:Teorija brojeva Kategorija:Gama i slične funkcije Kategorija:Teme o faktorijelima i binomima