Bernoullijeva jednačina prikazuje odnos između brzine, pritiska i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja nestišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih presjeka; porastom brzine tekućine pada njen statički pritisak i obratno. Zbir statičkog i dinamičkog pritiska u horizontalnom strujanju daje ukupan pritisak, koji je konstantan u svim presjecima. Drugim riječima, Bernoullijeva jednačina predstavlja zakon očuvanja energije, koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.

Odnosno Bernouiiljeva jednačina govori o konstantnosti: potencijalne energije ... i kinetičke energije ... .

Objašnjenje Bernoullijeve jednačine 600px|centar

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su piezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog pritiska mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj pritiska usljed kretanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Piezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću piezometarske i Pitotove cijevi. Zbir tih visina je konstantna i jednaka H, bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički pritisak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća, iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički pritisak veći, a na mjestima veće brzine manji.

Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koriste u Bernoullijevoj jednačini

ρ – Gustoća - S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka - . p - statički pritisak - (Pa) v - brzina - (m/s) m – masa tekućine - (kg) R - mehanički rad - (W) V - volumen mase tekućine -

Bernoullijeva jednačina koristi SI sistem jedinica. geodetska visina, odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravan u piezometarska ili visina pritiska, odnosno visina piezometarskog pritiska koju pokazuje visina stupca tekućine u piezometarskoj cijevi u je brzinska visina u , a brzina predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu. Ukupan zbir energija daje Bernoullijevu jednačinu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka i statičkog pritiska , tekućina dobije veću brzinu . Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

a kad uđe u uži dio:

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao zbog razlike pritisaka () pri kretanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = () ΔS

R= () V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

() V = -

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = , dobijamo Bernoullijevu jednačinu:

+ = + = + = konst.

Izrazi , + i + prikazuju pritisak koji je nastao usljed strujanja tekućine i zove se dinamički pritisak.

Oblik Bernoullijeve jednačine za idealnu tekućinu

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ova jednačina jesu:

tekućina je idealna - nestišljiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka Stacionarno strujanje

predstavlja hidrodinamički pritisak ili ukupnu specifičnu energiju u .

Izvod Bernoullijeve jednačine preko zakona održanja količine kretanja

Bernoullijeva jednačina je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine kretanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod jesu: fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi, Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

Izvod Bernoullijeve jednačine preko Eulerovog integrala

Eulerove diferencijalne jednačine kretanja tekućine - implicitni oblik

... ... ...(1E) ... ... ...(2E) ... ... ...(3E) - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

Osnovna pretpostavka: imamo stacionarno strujanje

matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i saberemo dobivene jednačine.

, pa dobijemo jednačinu:

možemo derivirati

Dakle, sada imamo ovaj oblik jednačine

ako imamo strujnu cijev u kojoj djeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sistemu. Možemo pojednostavniti ovako:

I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod Bernoullijeve jednačine:

Oblik Bernoullijeve jednačine za realnu tekućinu

je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u .

Coriolisov koeficijent Naziva se i koeficijent kinetičke energije . On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim tačkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

Koeficijent kinetičke energije najčešće ima sljedeće vrijednosti:

kod strujanja u cijevima kod strujanja u otvorenim vodotocima vrijednost možemo računati ovom formulom: - postavlja se uslov da je

Praktična primjena Bernoullieve jednačine

Primjer cijevi pod pritiskom mini|350px|desno|Cijev pod pritiskom

Znamo: . gubitak pritiska predstavlja razliku piezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi:

Zaključak

gdje je statički pritisak, dinamički pritisak, a ukupni pritisak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.

Bernoullijev zakon ili Bernoullijeva jednačina služi za proračun brzine, pritiska ili gubitaka kod protoka tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama, tj. fluidima, ova jednačina služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.

Također pogledajte Navier–Stokesove jednačine Hidraulika

Reference

Vanjski linkovi

https://books.google.ba/books?id=TQfYCwAAQBAJ&pg=PA2-1&q=Anderson&redir_esc=y https://web.archive.org/web/20180318183632/http://d1vdx9ifs4n5d7.cloudfront.net/s3fs-public/davidson_images/eastwell-bernoulli.pdf https://books.google.com/books?id=G6RRAAAAMAAJ http://www.df.uba.ar/users/sgil/physics_paper_doc/papers_phys/fluids/Bernoulli_Newton_lift.pdf

Kategorija:Dinamika fluida Kategorija:Aerodinamika